重庆市字水中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

重庆市字水中学2023-2024学年高二上期10月月考数学试卷时间：120分钟总分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.若事件A与事件B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，则（）．A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算直接得出结果.【详解】事件A与事件B互斥，则.故选：B2.一组数据按从小到大的顺序排列如下：，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则（）A.33B.34C.35D.36【答案】D【解析】【分析】利用中位数和百分位数的定义得到，，求出答案.【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即，，故选取第7个数为分位数，故，所以.故选：D3.如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.【详解】因为，即为的中点，所以，因为，所以，.故选：C4.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶【答案】D【解析】【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.故选：D.5.已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（） A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意，存在实数值得，列出方程组，即可求解.【详解】由向量，，，因为，，三向量共面，则存在实数值得，即，可得，解得，则.故选：A.6.如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，E为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取中点为，连接，，确定即为异面直线与所成的角，确定为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：取中点为，连接，， 在中，分别为中点，故，即为异面直线与所成的角（或补角），在中，，，，即为等边三角形，，.故选：B.7.已知，，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．【详解】因为，0，，，2，，则向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量是．故选：．8.如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且，等边△的高为，在正棱锥中，以原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，则，且，所以，，，若为面PBC的法向量，则，令，则，又平面PBC，则且k为实数，，故.故选：D二、多选题（每小题全选对得5分，有错误选项得0分，部分选对得2分，满分20分.）9.从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（）A.至少有一个是正品B.至多有两个次品C.恰有一个是正品D.至多有三个正品【答案】ABD【解析】 【分析】把从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个的三种情况一一列举出来，即可判断.【详解】从10个同类产品中任取3个共有3种情况，分别为3个正品、2个正品1个次品、1个正品2个次品，所以从10个同类产品中任意抽取3个，那么至少有一个正品，至多有两个次品，至多有三个正品.故选：ABD.10.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法一定正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】AD【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可.【详解】对于A：若，，由面面平行的性质定理可知，故A正确；对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；对于C：若，，则或，故C错误；对于D：若，则存在直线，使得，又，，所以，所以，故D正确；故选：AD11.已知事件、发生的概率分别为，，则（）A.若，则事件与相互独立B.若与相互独立，则C.若与互斥，则D.若发生时一定发生，则【答案】AB【解析】 【分析】利用独立事件的定义可判断A选项；利用并事件的概率公式可判断B选项；利用互斥事件的概率公式可判断C选项；分析可知，可判断出D选项.【详解】对于A，因为，，则，因为，所以，事件与相互独立，A对；对于B，若与相互独立，则，所以，，B对；对于C，若与互斥，则，C错；对于D，若发生时一定发生，则，则，D错.故选：AB.12.在空间直角坐标系中，已知向量（），点，点.（1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点且其坐标满足，称为直线的方程；（2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点且其坐标满足，称为平面的方程.设直线的方程为，平面的方程为，，则（）A.B.直线与平面所成角的余弦值为C.到平面的距离为D.向量是平面内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对，使得，其中.【答案】ACD【解析】 【分析】点的坐标分别代入直线方程、平面方程可判断A；求出平面的一个法向量、直线的方向向量，利用向量的夹角公式可判断B；利用点到平面的向量求法可判断C；由空间向量基本定理可判断D.【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；对于B，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，由，得直线与平面所成角的余弦值为，故B错误；对于C，因为，所以，所以到平面的距离为，故C正确；对于D，因为，所以，又，，则，即在平面内，由空间向量基本定理可得存在唯一的有序实数对，使得，故D正确.故选：ACD.三、填空题（满分20分，每题5分）13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出学生总数.【详解】，故该校高中学生总数是1800人.故答案：180014.在一个由三个元件构成的系统中，已知元件正常工作的概率分别是，，，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______． 【答案】【解析】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统正常工作的概率.【详解】由题意可知都不工作概率为，所以至少有一个能正常工作的概率为，故这个系统正常工作的概率为，故答案为：15.如图，平行六面体中，，，则线段的长度是______.【答案】【解析】【分析】由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可求解.【详解】由题知，所以，所以，即，所以线段的长度是.故答案为： 16.如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______．【答案】①.②.12【解析】【分析】如图，分别取，，的中点，，，连接，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值.【详解】∵，∴点在平面上，如图，分别取，，的中点，，，连接，因为为中点，故，又由正方体可得，，故，故四边形为平行四边形，故，故，故四点共面，同理可证四点共面，故五点共面，同理可证四点共面，故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形. 故点的轨迹是正六边形，因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，所以点的轨迹围成图形的面积是．如图，，∴的最大值为12．故答案为：，12．四、解答题（满分70分，17题满分10分，18～22题每题满分12分）17.目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是，样本数据分组为. （1）求频率分布直方图中的值；（2）利用频率分布直方图估计样本的众数、中位数.【答案】（1）；（2）众数为，中位数为；【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质得到方程即可求出．（2）众数即直方图中最高一组的组中值，首先判断中位数位于，再设中位数为，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）由频率分布直方图得：，解得．（2）由频率分布直方图可知众数为因为，所以中位数位于，设中位数为，则，解得，故中位数为；18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点，平面，且.（1）证明：平面； （2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，运用空间向量法解决线面平行即可.（2）运用空间向量法解决线线垂直即可.【小问1详解】由题知，底面是矩形，分别是的中点，平面，且.所以,所以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，所以，所以，因为易知为平面的一个法向量，所以，所以，因为平面， 所以平面.【小问2详解】由（1）得，，所以，所以，所以.19.已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为）和1个红色小球（记为），乙盒中是2个黑色小球（记为）和2个红色小球（记为）．（1）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果；（2）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率．【答案】（1）种，答案见解析（2）【解析】【分析】（1）用列举法列出所有可能结果；（2）利用古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】共16种不同结果，总体记为，则,．【小问2详解】记“取出的2个小球中至少有一个是黑色”，则,，故．20.在△中，内角所对的边分别是，已知，，.（1）求的值；（2）求△的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理可得，即，解得，【小问2详解】∵，且，∴,由得，,∴.故△的面积为.21.在长方体中，，，与交于点，点为中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由长方体的结构特征，可证，，得平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明：在长方体中，因为平面，平面，所以，因为为正方形，所以，因为，平面所以平面【小问2详解】以为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，；，，，设平面的法向量为，则，令，则，即，设平面的法向量为，则，令，则，即， ，所以，平面与平面的夹角的余弦值为.22.在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体中，已知__________，，，且，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值；（3）线段上是否存在一点F，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）若选①，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；若选②，根据线面垂直的判断定理，并结合面面垂直的判断定理，即可证明；若选③，利用平行和垂直关系，转化为证明，即可证明；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求线面角的正弦值；（3）首先假设在线段上存在点，满足条件，根据平面和平面 的法向量夹角的余弦值，即可求解.【小问1详解】若选①，取中点G，中点O，连接，,，，四边形为平行四边形，，，又，，，，又，，又，，，平面，平面，平面，平面平面.若选②，，，，，平面，平面，平面，平面平面.若选③，取中点O，中点H，连接，，，，，又，；O，H分别为，中点，，又，，四边形为平行四边形，；，，，，，，，，，又，.又，，，平面，平面，平面，平面平面. 【小问2详解】取中点O，中点H，连接，，，，又平面，平面平面，平面，又，，.综上所述：，，两两互相垂直.则以O坐标原点，，，为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设直线与平面的夹角为θ.则.即直线与平面的夹角的正弦值为【小问3详解】设在线段上存在点， 使得平面与平面夹角的余弦值等于，由（1）得：，.设平面的法向量，则，令，则，，；，化简可得：，解得：或（舍），，，；