重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

万州二中教育集团高2023级高一上期10月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是A.我校爱好足球的同学组成一个集合B.是不大于3的自然数组成的集合C.集合和表示同一集合D.数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素【答案】C【解析】【分析】根据集合的含义逐一分析判断即可得到答案【详解】选项A，不满足确定性，故错误选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误故选C【点睛】本题考查了集合的含义，利用其确定性、无序性、互异性进行判断，属于基础题．2.若全集且，则集合的真子集共有（）A.个B.个C.个D.个【答案】C【解析】【分析】先利用补集求得集合A，进而得到真子集的个数.【详解】解：因为全集且，所以,所以集合的真子集共有， 故选：C3.“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；反之：由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立，所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.故选：C.4.下列四个命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确的选项.【详解】取，则，故A选项错误.取，则，故C选项错误.取，则由解得，故D选项错误.对于B选项，由得，故B选项正确.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查差比较法比较大小，属于基础题.5.设全集，集合，，则下列运算关系正确的是（）．A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】分别求解出集合中表示元素的范围，则集合可知，然后对选项逐个判断即可，注意每个集合中的表示元素是哪一个.【详解】因为中，所以，所以；因为中，所以，所以；A．，错误；B．因为，所以，错误；C．，正确；D．因为，所以，错误；故选C.【点睛】本题考查集合的交并补混合运算对错的判断，难度一般.用描述法表示的集合一定要注意其表示元素是哪一个.6.若命题“，使得成立”为假命题，则实数a的取值范围是（）A.[1，+∞)B.[0，+∞)C.(，1)D.(，0]【答案】A【解析】【分析】根据命题和它的否定命题一真一假，写出它的否定命题，再根据否定命题为真命题即可求出的取值范围.【详解】命题“，使得成立”为假命题,则它的否定命题:“，”为真命题所以解得，所以实数a的取值范围是故选：A.7.设，若不等式的解集是，则不等式的解集 为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题知，且，再解不等式即可.【详解】解：因为不等式的解集是，所以，，2是方程的两个根，且，所以，由韦达定理，即，且，所以，不等式化为，解得，所以，不等式的解集为.故选：D8.若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则 ，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于符号“”使用正确的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：或，故D错误；故选：BC10.下列命题为真命题的是（）A.，B.设全集为，若，则C.“”是“”的必要不充分条件D.“和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件【答案】ABC 【解析】【分析】对A，举例判断即可；对B，由补集的概念即可判断；对C，分别判断必要性与充分性；对D，分别判断必要性与充分性.【详解】对A，当时，成立，A正确；对B，全集为，，如图所示，由补集的定义可知，成立，故B正确；对C，“”可得“”成立，“”不能推倒得“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，C正确；对D，当时，不是无理数，不满足充分性，当时，，不都是无理数，不满足必要性，D错误.故选：ABC11.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.为定值B.的最小值为C.最大值为D.无最小值【答案】ABD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解可得，进而代入选项中，结合基本不等式以及二次函数的 单调性即可求解.【详解】由于的解集为，所以，因此，故A正确，，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确，，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，在单调递增，由于，故无最小值，故D正确，故选：ABD12.已知，且，则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最大值为C.的最小值为D.【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判断ABC，利用二次函数性质求得的取值范围判断D．详解】，且，，，对于A，利用基本不等式得，化简得，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，，，故D正确；故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是___________.【答案】【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为，故答案为：14.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____．【答案】【解析】【分析】根据两个集合相等的关系，求得a，b的值，再求a2003+b2004的值．【详解】解：由题意，0∈{a，，1}及a≠0，可得=0，即b=0，从而{a，0，1}={a，a2，0}，进而有a2=1，即a=﹣1或1（舍去）（集合元素的互异性），故a2003+b2004=﹣1，故答案为﹣1． 【考点】集合相等和集合元素的互异性．【点睛】集合相等要分类讨论，以及利用元素的互异性进行取舍是解决本题的关键．15.已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的有__________.①不等式的解集可以是②不等式的解集可以是③不等式的解集可以是④不等式的解集可以是【答案】②④【解析】【分析】在假设结论成立时求出值进行判断①④，举特例判断②③．【详解】①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故错误；②：当，时，不等式恒成立，则解集是，故正确；③：当时，不等式，则解集不可能为，故错误；④：假设结论成立，则，解得，符合题意，故正确；故答案为：②④16.若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围__________.【答案】或##【解析】【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围. 【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或.故填：或四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）解不等式．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；（Ⅱ）先移项通分，进而可求出结果.【详解】（Ⅰ）由得，即，解得或，所以不等式的解集为或；（Ⅱ）由得，即，即，解得，即不等式的解集为；18已知集合，，.（1）求；（2）若，求m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出集合A，由交集和并集的定义即可得出答案；（2）由可得，讨论和，求解即可.【小问1详解】，所以.【小问2详解】因为，所以，若，则，解得：，若，则，解得：，所以m的取值范围为：.19.（1）已知，，求的取值范围；（2）已知a，b是正常数，且，，求证：，指出等号成立的条件；【答案】（1）；（2）证明见解析，时等号成立【解析】【分析】（1）把用和表示后由不等式的性质得结论；（2）作差变形后与0比较，或利用基本不等式证明．【详解】（1）设，其中， 则，解得，即，因为，则，，可得，所以的取值范围为；（2）解法一：，，当且仅当，即时等号成立.解法二：，，故，当且仅当，即时等号成立.20.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入化简，求解一元二次不等式化简，再由交集运算得答案；（2）由是的充分条件，得．然后对分类求解，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．【详解】解：（1）当时，，． ；（2），，若是的充分条件，则．因为当时，，显然成立；当时，，，，解得；当时，，，，解得．实数的取值范围是．【点睛】本题考查交集及其运算，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．21.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功【解析】【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；（2）根据题意可知对任意的 恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.【小问1详解】因为体育馆前墙长为米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，设甲工程队报价为元，所以，因，当且仅当，即时等号成立，所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；【小问2详解】根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．22.设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数. （1）直接判断集合和是否为的自邻集；（2）比较和的大小，并说明理由；（3）当时，求证：.【答案】（1）不是的自邻集，是的自邻集；（2），理由见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可；（2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案；（3）记集合所有子集中自邻集的个数为，可得，然后分：①自邻集中含这三个元素，②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，③自邻集只含有这两个元素，三种情况求解即可【详解】解：（1）因为，所以和，因为，所以不是的自邻集，因为所以是的自邻集，（2），则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9个，即其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5个，其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有{2，3}，{1，2，3}共2个，所以（3）证明：记集合所有子集中自邻集的个数为，由题意可得当 时，，，显然①自邻集中含这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素为，所以含有这三个元素的自邻集的个数为，②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，记自邻集除之外最大元素为，则，每个自邻集中去掉这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为种情况：含有最大数为2的集合个数为含有最大数为3的集合个数为……，含有最大数为的集合个数为则这样的集合共有，③自邻集只含有这两个元素，这样自邻集只有1个，综上可得因为，，所以，所以，所以