四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

三台中学2023级第一学月教学质量测试数学试题本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试卷其4页，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用集合交补运算求解.【详解】全集，集合，，所以，.故选：B2.设命题：任意的，，则为（）A.不存在，B.存在，C.任意的，D.存在，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答．【详解】全称命题的否定是特称命题， 命题：任意的，，则为“存在，”．故选：D．3.若集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据与推出关系判断.【详解】，则，所以，故充分性成立；，不一定成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.设，，则这两个集合间的关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合中的元素判断集合之间的关系.【详解】对集合B中的任意一个元素，则，所以，故.“”表示元素与集合之间关系，故A，C错误；又，故，故B错误.故选：D5.已知，，则与的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，，所以，所以.故选：D6.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，由不等式的性质，分别举出反例，即可得到结果.【详解】对于A，若，则不成立，故A错误；对于B，若，则不成立，故B错误；对于C，将两边同时除，可得，故C正确；对于D，取，可得不成立，故D错误；故选：C7.如果集合有且仅有两个子集，则实数m的所有可能值的和为（）A.9B.8C.7D.0【答案】A【解析】【分析】由题得集合只有一个元素，再对分两种情况讨论得解.【详解】解：因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素.当时，，满足题意；当时，由题得.所以实数m的所有可能值的和为. 故选：A8.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A.2B.4C.6D.9【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解.【详解】因为，当且仅当且时取等号，所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9.故选:D.二、选择题：本题共4小愿，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，且，则的可能取值有（）A.1B.C.3D.2【答案】AC【解析】【分析】利用，可得或，解出的值代入集合验证满足元素互异性即可.【详解】因为，所以或，解得：，或，，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当时，，不满足元素互异性，不成立所以或，故选：AC【点睛】本题主要考查了元素的确定性和互异性，属于基础题. 10.若实数a，b满足，则下列说法正确的有（）A.的取值范围为B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；【详解】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误.故选：ABC.11.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A.BC.的解集为D.的解集为或【答案】ABC【解析】 【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可.【详解】因为不等式的解集为或，所以的两个根为1和3，且，由韦达定理得，得，因为，所以A正确，因为，所以B正确，不等式可化为，因为，所以，得，所以的解集为，所以C正确，不等式可化为，因为，所以，即，得，所以不等式的解集为，所以D错误.故选：ABC.12.若正实数，满足，则下列选项正确的是（）A.有最小值B.有最小值7C.有最小值D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】，令，则，解得，即，当且仅当时等号成立，故A正确； 由得，因为，，所以，，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；，令，则，解得，即，当且仅当时等号成立，故C错，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】依题意可得且，从而转化为，由此得解.【详解】因为不等式的解集为，所以，即，且，则不等式可化为，即，所以，解得，故答案为：.14.已知：，且，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】根据给定的条件，借助集合的包含关系列出不等式，求解作答. 【详解】因集合，，由得：，当，即时，，则，当时，则，解得，综上，即实数的取值范围是.故答案为：.15.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：万元)与仓库到车站的距离(单位：km)成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比．若在距离车站4km处建仓库，则和分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站__________千米处，才能使两项费用之和最小.【答案】5【解析】【分析】设，，根据题中信息求出和的值，进而可得出两项费用之和关于的表达式，利用基本不等式可求出的最小值，由等号成立求出对应的值，可得出结论.【详解】设，，，当时，，，∴，，∴，，∴两项费用之和为，当且仅当时，即当时等号成立，则应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．故答案：5.16.若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意，，①若，则不等式的解为：，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以；②若，则不等式无解，不满足题意；③若，则不等式的解为：，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以.综上所述，实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，或．（1）若全集，求，；（2）若全集，求．【答案】（1）；或（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果；小问1详解】；又或，所以或.【小问2详解】，，又，所以．18.已知：关于的方程有实数根，：． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.【小问1详解】因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则Ü，因此，解得，所以实数的取值范围是.19.已知，当时，．（1）若，求的最大值并写出，的值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）最大值为，此时（2）1【解析】【分析】利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】∵当时，，∴，，，， ，当且仅当时，取等号成立．故的最大值为，此时．【小问2详解】由（1）可知，，，，，且，，当且仅当时，取等号成立，又，解得，，所以的最小值为.20.已知函数，.（1）若关于的不等式的解集为，求的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出的范围；（2）化简不等式，然后讨论，，三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．【小问1详解】因为不等式的解集为，则，解得，所以实数的范围为；【小问2详解】不等式化简为，即，因为方程的两根分别为，， 当时，不等式化为，此时不等式无解，当时，解不等式可得，当时，解不等式可得，综上可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．21.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【答案】（1）4米；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.【小问1详解】因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，所以屋子的前面墙的长度均为米（），设甲工程队报价为元，所以（元），因为，当且仅当，即时等号成立，所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.22.已知关于的不等式的解集为．（1）求不等式的解集：（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据不等式解集为或得到1和是方程的两个实数拫且，然后列方程得到，最后解不等式即可；（2）利用基本不等式得到，然后根据恒成立得到，最后解不等式即可.【小问1详解】因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两个实数拫且． 所以，解得或（舍）．所以等价为，也能是，解得不等式的解集为．【小问2详解】由（1）知，于是有，故，当且仅当，时，即时，等号成立．依题意有，即，得，．所以的取值范围为．