安徽省皖北地区部分学校2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2023－2024学年度高一第一学期10月月巩固数学试题（试卷满分：150分考试时间：120分钟）考生注意：1.答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置.2.填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由集合的基本运算求解即可.【详解】∵，，∴，∵，∴.故选：B.2.已知a是的小数部分，则的值为（）A.2B.4C.‒2D.4‒【答案】A【解析】【分析】先计算出，代入求解即可.【详解】因为，故，所以. 故选：A3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件判断即可得解.【详解】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A.4.适合条件的集合A的个数有()A.15B.16C.31D.32【答案】B【解析】【分析】此题利用集合间的包含关系求子集个数，利用公式直接计算即可.【详解】由题可知，集合A中必由元素1，若排除三个集合中的元素1，则该集合关系变为，则的个数为个.故选：B.5.已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分两种情况考虑，时，不等式成立；时，需满足，综上，即可得到本题答案.【详解】①当时，不等式成立，∴； ②当时，则有，解得；综上，．故选：B．6.已知集合，，，则，，的关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法表示集合、、，即可判断.【详解】因为，，，且，，，，，，所以.故选：B7.已知，则的最小值为（）A.B.0C.1D.【答案】A【解析】【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】，， ，，，，当且仅当，即，时等号成立，故选：A8.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即则有，当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，若不等式有解，则有，解可得或，即实数m的取值范围是．故选：D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列全称命题与特称命题中，是真命题的为（）A.设A，B为两个集合，若，则对任意，都有B.设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得C.是无理数，是有理数D.是无理数，是无理数【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A、B由集合直接的包含，不包含关系的定义判断；对于选项C找出一个不符合即错误；对于选项D找出一个符合即正确；综上得出答案.【详解】对于选项A：根据的定义可知，任意，都有，故A正确；对于选项B：若A不包含于B，则存在，使得，故B正确；对于选项C：是无理数，而还是无理数，故C错误；对于选项D：是无理数，而还是无理数，故D正确.故选：ABD.10.给定数集M，若对于任意，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A.集合为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合为闭集合D.若集合，闭集合，则为闭集合【答案】ABD【解析】【分析】首先判断信息题型的做法，理解题，进一步利用信息做题，从而得到结果．【详解】定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合， 对于A：由于，但是，故集合不为闭集合，故A错误；对于B：对于正整数集，有，但是，故B错误；对于C：任取，则，则，所以，故.集合为闭集合，故C正确；对于D：由C可得为闭集合，同理为闭集合，所以，则有，但，则不为闭集合，故D错误；故选：ABD．11.已知，，，则下列命题为真命题的是（　　）A.若，则B.若且，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；选项B，由得，又因为，所以，所以，故选项B正确；选项C，因为，所以，所以，因为，所以两边同乘得，故选项C正确；选项D，因为，，，所以，即，故选项D不正确；故选：ABC．12.若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（） A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】分析可知等式解集为，且，根据定理可得出，，代入可求得的取值范围，然后根据不等式的基本性质可求得的取值范围，即可得解.【详解】因为，则二次函数的图象开口向上，且关于的不等式的解集为，所以，不等式的解集为，且，所以，关于的二次方程的两根分别为、，由韦达定理可得，则，则，又因为，所以，，所以，，故选：AD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】分析可知命题“，”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.当时，由可得，不合乎题意； 当时，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.14.设为实数，集合，，满足，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，按集合是空集和不是空集分类，利用包含关系列出不等式求解作答.【详解】当时，，解得，此时满足，则；当时，由，得，解得，所以的取值范围是.故答案为：15.若，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】设，利用系数相等求得的值，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】由题意，设，则，解得，因为，可得所以，即的取值范围是. 故答案为：.16.已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”.其中所有正确结论的序号有_______.【答案】①③【解析】【分析】根据新定义检验①，由新定义构造一元二次方程，利用判别式证明判断②，利用新定义，结合不等式的知识判断③．【详解】①，故①正确.②不妨设，则由根与系数的关系知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，由，可得，解得或，故②错误.③根据集合中元素的互异性知，不妨设，由，可得.，.于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确.故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，，，求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】根据不等式性质即可证明.【详解】∵，∴，又∵， ∴，即，∴，又∵，∴.18.设为实数，集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）求出时集合B，再利用集合的运算即可求出与；（2）根据得出关于的不等式，由此求出实数m的取值范围.【小问1详解】集合，时，，所以，又因为，所以或，【小问2详解】由，得或，即或，所以实数m的取值范围是.19.如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）． （1）当时，求草坪面积；（2）当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．【答案】（1）（2）时，W最小，最小值为55000元【解析】【分析】（1）根据十字形地域的面积确定每一小块花岗岩面积，从而确定，进而可求解草坪的面积;（2）建立函数模型，利用基本不等式求最小值.【小问1详解】由题意得，花岗岩地面面积为，∴，则，∴草坪面积；【小问2详解】由题意得，，由得，，即，则， 当且仅当即时取得等号，∴时，W最小，最小值为55000元．20.（1）已知关于的不等式的解集是，求的值；（2）若正数，满足，求最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据分式不等式解法求出含参的解集即可求的值；（2）用“1”的代换即可构造基本不等式求最小值.【详解】解：（1）可化为，因为不等式的解集是，所以，即，由，解得．（2），因为，所以．因为，而，当且仅当，时，等号成立，所以，所以，当且仅当，时，等号成立．21.已知函数．（1）当，时，若“，”为真命题，求实数a的取值范围；（2）若，，解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）将，代入函数，并结合题意可转化成方程在上有解，分和两种情况进行讨论即可得到答案；（2）将，代入函数，分，，，，五种情况进行讨论，即可得到对应解集.【小问1详解】当，时，，因为“，使得”为真命题，即方程在上有解，当时，，即，符合题意；当时，解得，符合题意，综上所述，实数的取值范围为.【小问2详解】当，时，原不等式即为，①当时，则，解得，故不等式解集为；②当时，，解原不等式可得，此时原不等式的解集为；③当时，，解原不等式可得或，此时，原不等式的解集为或；④当时，原不等式即为，解得，此时，原不等式的解集为；⑤当时，，解原不等式可得或， 此时，原不等式的解集为或；综上所述，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．【点睛】方法点睛：对含参一元二次不等式进行求解时，要对参数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照二次函数的开口，根的大小进行分类求解的22.若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方（1）若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？（2）对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题均为假命题时的取值范围，再求出其补集即可；（2）先得，然后该不等式左边为关于的一次函数，所以只要把和代入上式不等式可求得结果.【小问1详解】考虑补集思想，命题中至少有一个真命题的反面为：命题均为假命题，，则恒成立，故， ，则有解，，当且仅当时取等号，故，故，再取补集：的取值范围为【小问2详解】先研究，不等式对于有解，故：，当且仅当时，取得最小值1，再研究，将视为主元，则该不等式左边为关于的一次函数，故只须在的值均满足条件即可，则，得，解得或故的取值范围为