浙江省杭州外国语学校2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022学年杭外高一上期中试卷1.若，，，则M中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义，结合已知集合，即可求得结果.【详解】根据题意，，故中元素的个数为.故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法解，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】由，可得或，∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.已知，则（）A.1B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】令，代入求值即可.【详解】令，则.故选：D4.下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出对称点横坐标的表达式，改变系数的值即可得出对称中心.【详解】解：由题意在中，令，解得，当时，，∴函数的一个对称中心是，A正确.当时，，∴函数的一个对称中心是，D正确.当时，，∴函数的一个对称中心是，C正确.故选：B.5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.6.已知实数满足，则的最小值为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.【详解】解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.7.两个函数的图像经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则是“同形”函数的是(　　)A.f2(x)与f4(x)B.f1(x)与f3(x)C.f1(x)与f4(x)D.f3(x)与f4(x)【答案】A【解析】【分析】先化简f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，函数f2(x)＝log2(x＋2)经过平移变换后可以得到f4(x)，所以它们是“同形”函数.【详解】因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图像，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故答案为A.【点睛】本题主要考查函数图像的变换和新定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.已知函数，若的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项. 【详解】解：因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除C；又，且，解得，当时，不满足，当时，符合题意，当时，符合题意，当时，不满足，故B正确，AD不正确，故选：B9.函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】ABC【解析】【分析】作出函数，的图像与直线图像，数形结合求解即可.【详解】解：作出函数，的图像与直线图像，如图，所以，当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为0个；当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为1个； 当时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为2个；故函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有1个，2个，3个.故选：ABC10.【多选题】设α是第二象限角，下列各式中可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】，，由三角函数的周期性，不妨设或，结合三角函数的单调性逐个判断即可.【详解】，，则，由三角函数的周期性，不妨设或.对A，当，成立，当，，A对；对B，当，，又，B对；对C，当，，当，，C错；对D，当，，D对.故选：ABD11.关于函数由以下四个命题，则下列结论正确的是（） A.的图象关于y轴对称B.的图象关于原点对称C.的图象关于对称D.的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A、B的正误；根据函数对称性，可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.【详解】由函数，其定义域为，且，故函数偶函数，故A正确，B错误；由，则函数关于对称，故C正确；当时，，则，故D错误.故选：AC.12.定义在上的函数，下列说法中正确的为（）A.函数的值域为B.当时，函数所有值中的最大值为4C.函数在上单调递减D【答案】ABD【解析】 【分析】画出函数图象，判断出AB选项；结合函数性质得到在上单调递增，在上单调递减，C错误；由函数性质得到，计算出，从而得到答案.【详解】画出函数的图象，如图所示：从图象可以得到函数的值域为，当时，函数所有值中的最大值为4，AB正确；因为，当时，，当时，，由图象可知：上，函数单调递增，时，，函数单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；，因为，所以，故，D正确.故选：ABD13.用弧度制表示终边落在轴上的角的集合：_________________________【答案】【解析】【分析】根据终边相同角的知识，写出终边落在轴上的角的集合.【详解】终边落在轴正半轴的角为，终边落在轴负半轴的角为 ，所以终边落在轴上的角的集合为.故答案为：.14.若函数的值域是，则_____________．【答案】2【解析】【分析】通过换元，利用余弦函数的有界性，转化为二次函数在给定区间求值域，结合单调性解决即可.【详解】令，则，，根据二次函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以，，所以值域为，则.故答案为：215.已知是第三角限角，化简__________;【答案】【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式和象限角的符号，准确运算，即可求解.【详解】因为是第三角限角，可得又因为且，所以原式.故答案为：.16.设是定义在上的奇函数，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最大值是________．【答案】【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性可将问题转化为对恒成立，分离参数可得对恒成立，求的最小值，解不等式即可求解.【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，易知在上单调递减.所以，，所以，所以对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，所以，当时，有最小值，故，得.所以的最大值为.故答案为：17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将原式变形为，然后根据齐次式进行计算即可；（2）首先通过诱导公式进行化简整理，然后根据齐次式进行计算即可； 【小问1详解】由，得，分子分母同除得：.【小问2详解】，分子分母同除得：.18.已知函数，（，），最小正周期为，当时，函数取到最大值．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，若函数在区间上的值域为，求a，b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意利用三角函数的周期性和最大值求得值，从而求得解析式，再利用正弦函数的单调性即可求解；(2)利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在区间的最大值和最小值的等量关系，解方程组从而求得值.【小问1详解】因为函数，（，），最小正周期为，所以,则， 当时，函数取到最大值为1，即，；所以，函数，令，解得，所以函数的增区间为：.【小问2详解】函数,();,则，当，即时，在区间上取得最小值为1，即；当，即时，在区间上取得最大值为3，即；，解得.19.如果存在实数，使得，那么就称函数为“不动点”函数．（1）判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由；（2）已知函数为“不动点”函数．①求a的取值范围； ②已知函数的定义域为，求的最小值．【答案】（1）是，理由见解析（2）①；②见解析【解析】【分析】（1）根据“不动点”函数的定义判断即可；（2）①根据“不动点”函数的定义，分类讨论a得到关于的方程，得到关于的不等式组，解出即可；②在①中a的取值范围内分类讨论a，根据二次函数的单调性，即可求出的最小值.【小问1详解】解：是，理由如下：当时，若，得，则是“不动点”函数.【小问2详解】①当时，，解得符合题意，当时，，即，所以，解得且，综上所述，的取值范围为；②的定义域为，对称轴为，当时，在上单调递增，；当时，；当时，在上单调递减，；20已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}= （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．试题解析：（Ⅰ）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即（ⅱ）当时，，当时，．所以，．【考点】函数单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．