天津市武清区杨村第一中学2023-2024学年高三数学上学期开学检测试题（Word版附解析）

2023~2024学年度杨村一中高三年级上学期开学质量检测数学试卷一､选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分）1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据补集定义求出，再根据交集定义即可求出的结果.【详解】解：，，，，.故选：B.2.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式，求出的充要条件，与对比，即可求解.【详解】，“”是“”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题. 3.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的解析式判断函数的奇偶性以及当时，函数值的符号，排除错误选项即可得出选项.【详解】由，定义域为，关于原点对称，则，所以函数为偶函数，排除B、D；当时，，故排除C.故选：A4.如图在正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据异面直线夹角的概念平移找角，再结合余弦定理计算即可.【详解】连接交于，取中点为，连接，由正方体可知，，又交于，为中点，所以，即，所以四边形为平行四边形，所以,直线与所成角等于直线与所成角为或其补角，在中，，所以,则直线与所成角的余弦值是.故选：B.5.为响应“书香临夏、悦享阅读”活动，某校开展语文教师课文朗诵比赛．已知男女教师人数相同，有的男教师和的女数师擅长中华诗词朗诵，现随机选一位教师，这位教师恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（）AB.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据全概率公式可求出结果.【详解】设“男教师”，“女教师”，“擅长中华诗词朗诵”，则，，，则.故选：B6.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数与对数函数的单调性与1，2比较大小即可得出答案．【详解】因为，，，所以.故选：A.7.已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（）A.2B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据实数成等比数列，可得．利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．【详解】因为实数成等比数列，所以，由，得，令，解得， 当或时，，当时，，所以函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减．所以时，函数取得极小值，时，函数取得极大值．因为曲线的极大值点为，极大值为，所以，，即．所以，所以，故选：A．8.5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千只）0.50.81.01.21.5若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A.由题中数据可知，变量y与x正相关B.线性回归方程中C.时，残差为0.02D.可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）【答案】B【解析】【分析】对于A，利用表中的数据分析即可求解；对于B，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C，利用预测值和残差的定义即可求解；对于D，利用回归方程即可求出预测值.【详解】对于A，从数据看随的增加而增加，所以变量y与x正相关，故A正确；对于B，由表中数据知，所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，故B错误；对于C，线性回归方程为，所以，，故C正确； 对于D，当时该商场5G手机销量约为（千只），故D正确.故选：B.9.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论，其中所有正确结论的序号是（）①函数是奇函数②的图象关于直线对称③在上是增函数④当时，函数的值域是A.①③B.③④C.②D.②③④【答案】C【解析】【分析】先根据辅助角公式化简，然后利用已知条件求解出的值，再根据图象的变换求解出的解析式；①根据解析式判断奇偶性；②根据的值判断对称性；③采用整体替换的方法判断单调性；④利用换元法的思想求解出值域.【详解】因为，又的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以向左平移个单位得到，横坐标伸长到原来倍得到， ①为非奇非偶函数，故错误；②，所以是的一条对称轴，故正确；③因为，所以，又因为在上先增后减，所以在上不是增函数，故错误；④当时，，所以，此时；，此时，所以的值域为，故错误；故选：C.【点睛】思路点睛：求解形如的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定这个整体的范围；（2）分析在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的的取值.二､填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上）10.已知函数，则____________．【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：111.二项式展开式常数项为________. 【答案】60【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数为0，求得值，即可求得常数项.【详解】的展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式的常数项为.故答案为：6012.已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.【详解】由题意可得，令得所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，所以的图象如下图： 要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时，与的距离即为A，B两点之间最小的距离，令，解得．由，所以直线的方程为，即则与的距离的距离，则A，B两点之间的最短距离是．故答案为：．13.某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是________，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为________．【答案】①.##0.9②.##1.8【解析】【分析】根据给定条件，利用古典概型计算概率；再利用超几何分布的期望公式计算作答.【详解】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为，女生人数为2，所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是；依题意，随机变量服从超几何分布，其期望为.故答案为：；14.若，，则的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】变形后，利用四元基本不等式进行计算.【详解】因为，，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：415.已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】利用分离参数法将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值，结合换元法、去掉绝对值及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为，，不等式恒成立，所以，即恒成立，令，则，令，则，解得或（舍），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，因为，所以，在上单调递增. 当，即时，，所以的最小值为，所以，即，解得，所以.当时，的最小值为，所以，即，解得，所以.综上可知，实数a的取值范围为.【点睛】解决此题的关键是利用分离参数法将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题即可.三､解答题（本大题共5小题，共75分.将解题过程写在答题纸上）16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（1）求角B的大小；（2）若，求的值；（3）若，，求边a的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由正弦定理边角转化得，结合三角形内角性质即可求角B.（2）由两角差、倍角公式展开，根据已知条件及（1）的结论即可求值.（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.【详解】（1）由正弦定理有：，而为的内角，∴，即，由，可得，（2）， ∵，，可得，而，∴，（3）由余弦定理知：，又，，，∴，可得.17.如图，在五面体中，四边形为正方形，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求直线与平面所成角的正弦值；（3）利用向量法去求平面与平面夹角的正弦值.【小问1详解】在△中，过点N作交CF于H，连接AH，又，则，又，则则四边形为平行四边形，则 又平面，平面，则平面；【小问2详解】四边形为正方形，平面，则两两垂直以F为原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，则，令，则，，则设直线与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为；【小问3详解】由（2）可得，设平面一个法向量为，则，则，令，则，，则 又平面的一个法向量为则设平面与平面夹角，则，则平面与平面夹角的正弦值18.已知等比数列的首项为1，公比为q，，，依次成等差数列.（1）求公比q的值；（2）当公比时，求数列的前n项和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据题目条件和等比数列通项公式基本量计算得到公比；（2）在（1）基础上，利用错位相减法进行求解.【小问1详解】∵依次成等差数列，∴.∵是首项为1的等比数列，∴.∵，∴，∴或.【小问2详解】∵，∴，∴， ∵，∴，∴，上式减下式得：，∴19.设函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）若对任意及，恒有成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求的解，根据极值的定义判断在x两侧的符号，从而求出的极值.（Ⅱ）对求导，利用二次函数求根的方法进行分类讨论，然后利用导数的正负求得单调区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，求得的最大最小值，从而求出的最值，转化为求大于的最大值的问题，进而求得m的范围.【详解】（Ⅰ）依题意，知的定义域为.当时，，.令，解得，当时，；当时，，又，所以的极小值为，无极大值； （Ⅱ）∵，当时，，令，得或，令，得；当时，得，令，得或，令，得；当时，；综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为；当时，在单调递减；当时，的递减区间为，递增区间为.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.当时，取最大值；当时，取最小值.所以，因为恒成立，所以，整理得.又，所以，又因为，得，所以，所以.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了学生的解题能力和转化能力，解题的关键是二次函数分类讨论求不等式以及恒成立问题的转化，属于难题.20.已知数列的前项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式； （2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；（3）对（2）中的，求集合的元素个数.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式,即可求得答案;（2）由（1）,求得,根据且成等差数列,即可求得,即可求证数列为等比数列;（3）要求集合中整数的个数,关键是求出与的特征,的特征与的奇偶性有关,可运用二项式定理研究其性质,当为奇数时,,同样可得,则集合的元素个数为.同样求出为偶数时的个数即可.【详解】（1）数列的前项和为,数列是首项为,公差为的等差数列,当时,当时,综上所述,,.（2）由（1）则且成等差数列, 为常数,为等比数列.（3）①当为奇数时同理可得,则集合的元素个数为②当为偶数时,同理可得的元素个数为综上所述,集合的元素个数:.