辽宁省名校联盟2023年高二数学上学期10月份联合考试试题（Word版附答案）

绝密★启用前辽宁省名校联盟2023年高二10月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则（）A．B．C．D．2．已知i是虚数单位，，复数为纯虚数，则的模等于（）A．B．C．2D．13．已知直线与直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在中，，，则（）A．B．C．D．5．下列函数中，值域是且为偶函数的是（）A．B．C．D．6．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素，安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 所成角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）A．B．C．D．7．已知函数对任意都有，且，当时，，则下列四个结论中正确的个数为（）①函数的图像关于点对称；②函数的图像关于直线对称；③当时，；④函数的最小正周期为2．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共４小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下面四个结论正确的是（）A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底B．已知向量，，则在方向上的投影为C．若点P，M，A，B四点共面，则存在实数x，y，使D．已知向量，，，若，，共面，则x的值为110．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增 B．函数的图像关于点对称C．D．方程在内的所有实根之和为11．已知圆，则下列命题是真命题的是（）A．若圆C关于直线对称，则B．存在一条定直线与圆C相切C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则△CPQ的面积的取值范围是D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则的最小值为412．如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是（）A．点到平面AEF的距离的最大值为B．该直三棱柱的外接球的表面积为C．当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为D．若E是棱的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知定义域为R的函数满足：①；②．则满足条件的的一个解析式为______．14．已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的内切球的体积为________．15．在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为______．16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化、相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．已知函数是奇函数，且当时，，则时，______；若是圆的太极函数，则实数k的取值范围是______．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知点，，点A关于直线的对称点为B．（1）求的外接圆的方程；（2）过点作的外接圆的切线，求切线方程．18．（12分）已知函数的部分图像如图所示．（1）求的解析式；（2）若函数，当时，求的值域． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E，F分别是PC，AD的中点．（1）求证：平面PFB；（2）若PB与平面PCD所成角为30°，，求二面角的正弦值．20．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求角A的大小；（2）若，的平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值．21．（12分）如图①，在平面四边形ABDC中，，，，，将△BCD沿BC折起，形成如图②所示的三棱锥，且．（1）证明：平面ABC；（2）在三棱锥中，E，F，G分别为线段AB，BC，AC的中点，设平面DEF与平面DAC的交线为l，Q为l上的点，求直线DE与平面QFG所成角的正弦值的取值范围．①②22．（12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点，．（1）若平行于AB的直线l与圆M相交于C，N两点，且，求直线l的方程；（2）设直线与圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF的两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．参考答案及解析一、选择题1．D【解析】，，，则．故选D项．2．A【解析】，因为为纯虚数，所以，则的模等于．故选A项．3．C【解析】当时，直线与直线，所以，充分性成立；当时，解得，必要性成立．故“”是“”的充要条件．故选C项．4．D【解析】因为，，所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点，N为AC的中点，．故选D项．5．B【解析】由题意得函数不是偶函数，其余3个选项的函数均为偶函数，A项的函数值域为；B项的函数值域为；D项的函数值域为．故选B项．6．C【解析】如图，过E作平面ABCD，垂足为O，过E分别作，，垂足分别为G，M，连接OG，OM．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，EO，平面EOG，，所以平面EOG，因为平面EOG，所以，同理，，所以等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角分别为和，所以．又，所以四边形OMBG是矩形，所以由得，所以，所以，所以在中，，在中，，，又因为，故该五面体的所有棱长之和为 ．故选C项．7．A【解析】因为，所以，故，所以的周期为4．又，所以，故的图像关于直线对称，又当时，，且，所以，所以当时，故作出的部分图像如下图所示：函数的图像关于点不中心对称，故①错误；函数的图像不关于直线对称，故②错误；当时，，则，故③错误；由图像可知的最小正周期为4，又，故的最小正周期为2，故④正确．故选A项．8．C【解析】，所以，所以的图像关于直线对称．又因为，由复合函数单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减．又， 所以，所以（也可以，）．又因为，，，，所以．故选C项．二、选择题9．AB【解析】A项：是空间的一组基底，，与，均不共面，所以也是空间的一组基底，故A项正确；B项：因为，，所以在方向上的投影为，故B项正确；C项：若与共线，与，不共线，则不存在实数x，y，使，故C项错误；D项：若，，共面，则存在实数λ，μ，使，所以，，所以x的值为1或，故D项错误．故选AB项．10．BCD【解析】，，故C项正确；当时，，单调递减，故A项错误；当时，，，故B项正确；，当时，，由得，方程有两个实根，且，所以，故D项正确．故选BCD项．11．BCD【解析】A项：由题意得圆心在直线上，所以，解得，又，所以，故A项错误； B项：圆，令，，联立解得，，所以圆C过定点，又因为圆心，所以直线与圆C相切，故B项正确；C项：当时，圆，由直线得，令且，得，，所以直线过定点，设圆心C与直线的距离为d，则d的最大值为，，因为，所以，所以，所以，故C项正确；D项：当时，圆，四边形MACB的面积，又的最小值为，所以的最小值为2，故的最小值为4，故D项正确．故选BCD项．12．ACD【解析】A项：因为，所以三棱锥的体积为定值．设点到平面AEF的距离为d，若d最大，则的面积最小，即点E到边AF的距离最小，其最小值为异面直线AF与的距离，即为与平面的距离，即为B与平面的距离，记为h，由，得，所以，所以，故A项正确；B项：外接球的球心O是上、下底面外接圆的圆心连线的中点，设上底面外接圆圆心为，外接圆半径为r，在中，由余弦定理可得，所以，，所以，设外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积为，故B项错误；C项：作，垂足为H，作，垂足为H1，易证棱在平面上的射影为， 则点E在平面上的射影在线段上，在中可求得，，则，设AF的中点为，外接球的球心为O，半径为R，则平面，即，在中，①，又因为②，由①②可得，所以当取最小值时，最小，即R最小，此时，因为是AF的中点，则是的中点，则E是棱的中点．因为，所以直线EF与所成角即为直线EF与所成角．由B项中，再由余弦定理可得，因为，所以，，故C项正确；D项：延长AF，交于点P，连接PE交于点M，则四边形AEMF是截面，且点F是AP的中点，点M是上靠近的三等分点，可求得，，，所以为直角，，易知，所以四边形AEMF的面积为，故D项正确．故选ACD项．三、填空题13．【解析】由，可知符合该性质的函数可以为指数函数（且），又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为．14．【解析】设母线长为l，圆锥的高为h，由题意得，解得，所以，设内切球半径为R，则，解得，所以体积．15．6【解析】以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，，，，因为，得，令，，解出边界点为（0，2，0），令，，解出边界点为（4，0，0），当点P为（0，2，0）时， ，当点P为（4，0，0）时，，显然B1P的最大值在边界处取得，所以B1P的最大值为6．16．【解析】当时，，所以，所以．圆O的圆心为（0，0），函数为奇函数，如图，若是圆O的太极函数，则必然有点在圆内，即，解得．四、解答题17．解：（1）设点，由题意解得即B（1，0），（2分）所以，所以的外接圆是以线段AB为直径的圆，因为，AB的中点为（0，1），（4分）所以的外接圆方程是．（5分）（2）当切线斜率不存在时，切线方程为；（6分）当切线斜率存在时，设切线方程为，即，（7分）由题意得，解得，（8分）所以切线方程为．（9分）综上，切线方程为或．（10分） 18．解：（1）由图知．，（1分）则，又，所以，又，所以，（2分）由，可得，，所以，，又，所以，所以当时，，（4分）综上，．（5分）（2）由题意得，（6分）又，（7分）所以令，所以当时，，则，（9分）所以且，对称轴为直线，所以，（10分）所以，（11分）所以的值域为．（12分）19．（1）证明：设G为PB的中点，连接GE，FG，又E，F分别是PC，AD的中点，所以，，，（1分）又底面ABCD是正方形，所以，，（2分） 故四边形FDEG为平行四边形，则，（3分）又平面PFB，平面PFB，所以平面PFB．（4分）（2）解：因为底面ABCD，所以，又，，所以BC⊥平面PCD，所以是PB与平面PCD所成角，即，（5分）因为且底面ABCD为正方形，所以，，．（6分）以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），，，，，，，（7分）令为平面PFB的法向量，则令，得，（8分）令为平面PBC的法向量，则令，得，（10分）所以，（11分）设二面角的大小为θ， 则，所以二面角的正弦值为．（12分）20．解：（1）因为，所以：，即，（2分）由正弦定理得，即，由余弦定理得，（4分）又，所以．（5分）（2）由余弦定理得，即，所以，即（当且仅当时等号成立），（7分）因为，所以，解得，（9分）因为（当且仅当时等号成立），所以当且仅当时等号成立），（11分）所以AD长度的最大值为．（12分）（注：两次取等条件都不写扣2分）21．（1）证明：在中，，在中，，由余弦定理得，所以，（2分）在中，因为，，， 所以，所以，（3分）在中，因为，，，所以，所以，（4分）又因为，所以平面ABC．（5分）（2）解：因为，平面DAC，平面DAC，所以平面DAC，又平面DEF与平面DAC的交线为l，所以，．（6分）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．所以A（0，0，0），D（0，0，2），E（1，0，0），，，设Q（0，t，2），，，（7分）设平面QFG的法向量为，因为所以令，得，（8分）因为，设DE与平面QFG所成角为θ， 所以，（9分）若，则；（10分）若，则．（11分）所以DE与平面QFG所成角的正弦值的取值范围为．（12分）（注：若没有讨论，最后答案是开区间扣2分）22．解：（1）圆M的标准方程为，所以，半径为2，其中，（1分）因为l平行于AB，所以设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离，（2分）因为，解得或，（3分）所以直线l的方程为或．（4分）（2）如图所示：由题意设，，，不妨设，，则，，则， 设，则，则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得，，由韦达定理得，即，（5分）设直线PF的方程为，代入圆的方程消去y得，，由韦达定理得，即．（6分）解法一：，．当直线GH的斜率存在时，，（8分）所以直线GH的方程为，整理得，（10分）所以直线GH过定点；当直线GH的斜率不存在时，即时，若，得，H（2，0），则直线GH的方程为，直线GH过点，同理当时，直线GH过点．综上，直线GH过定点．（12分）（注：没有讨论直线GH的斜率，扣1分）解法二：，． 当直线GH的斜率存在时，，（8分）所以直线GH的方程为，由对称性可知，直线GH经过的定点一定在直线上，令，得，（10分）所以直线GH过定点；当直线GH的斜率不存在时，即时，若，得，H（2，0），直线GH的方程为，直线GH过点，同理当时，直线GH过点．综上，直线GH过定点．（12分）（注：没有讨论直线GH的斜率，扣1分）解法三：，．，（8分）所以直线GH的方程为，（9分）由题意得，，令，得，，直线GH的方程为，①令，得，，，直线GH的方程为，②联立①②得（10分）将点代入方程，得恒成立，（11分） 故直线GH过定点．（12分）（注：若没有求点G，H的坐标，没有写直线GH的方程，只代特值写出两条直线，求出交点坐标，给2分；若最后一步没有把点代入直线方程检验恒成立，扣2分）解法四：所以，，消去m得，（8分）由题意直线斜率存在，设直线GH的方程为，代入圆的方程消去y得，，由韦达定理得，，（9分）则，即，解得或．（10分）当时，直线GH的方程为，过定点；当时，直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意．