湖北省宜荆荆随2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

2023年宜荆荆随高二10月联考高二数学试卷命题学校：荆州中学审题学校：宜昌一中考试时间：2023年10月9日下午15：00-17：00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（）A.2B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】首先得到，即可判断其虚部.【详解】复数，则，所以的虚部为.故选：D2.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是.故选：B.3.抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（）A.与为互斥事件B.C.与为相互独立事件D.与互为对立事件【答案】C【解析】【分析】由相互独立事件及互斥事件、对立事件的定义以及古典概率依次判断即可.【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确；事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误；，B错误.故选：C.4.直线过点，则直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.6B.12C.18D.24【答案】B【解析】【分析】依题意可得且、，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值.【详解】因为直线过点，所以，令，可得，即直线与轴交于点，令，可得，即直线与轴交于点，依题意可得、，所以，则，当且仅当，即、时取等号，所以直线与、正半轴围成的三角形的面积，当且仅当、时取等号，即直线与、正半轴围成的三角形的面积最小值为. 故选：B5.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设上面的六棱柱的底面面积为，高为，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.【详解】设上面的六棱柱的底面面积为，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，则，，，所以.故选：D6.一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则该组数据的方差是（）A.5B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据百分位数与众数的计算求解可得，再计算方差即可.【详解】由题意该组数据共7个数，，故第60百分位数为从小到大第5个数，又众数为4，故，故该组数据的平均数为，故该组数据的方差是.故选：B7.已知满足，且两条直线方程分别为，，试判断两条直线位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交且不垂直【答案】B【解析】【分析】根据可得，进而结合正弦定理化简即可判断.【详解】由可得，即，且，设外接圆半径为，则：即，即，故.故两条直线位置关系是重合.故选：B8.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为 ，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值.【详解】经过点直线方程为，即，故直线的一个方向向量为，又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若十个学生参加知识竞赛的得分分别为，则下列说法正确的是（）A.极差为11B.众数为90C.平均数为88D.中位数是90【答案】AB【解析】【分析】根据极差、众数、平均数与中位数的计算逐个判断即可.【详解】将该组数据从小到大排列有：.对A，极差为，故A正确；对B，众数为90，故B正确；对C，平均数为，故C错误； 对D，中位数为，故D错误.故选：AB10.已知点与直线，下列说法正确的是（）A.过点且直线平行的直线方程为B.过点且截距相等的直线与直线一定垂直C.点关于直线的对称点坐标为D.直线关于点对称的直线方程为【答案】ACD【解析】【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求出，即可判断A，当截距都为时求出直线方程，即可判断B，设点关于直线的对称点坐标为，即可得到方程组，解得即可判断C，求出直线上任意两点关于点对称的点的坐标，从而求出对称的直线方程，即可判断D.【详解】对于A：设所求直线方程为，则，解得，所以过点且直线平行的直线方程为，故A正确；对于B：若截距都为，即过点且经过坐原点的直线为，此时直线的斜率，但是，，所以直线与直线不垂直，故B错误；对于C：设点关于直线的对称点坐标为，则，解得，所以点关于直线的对称点坐标为，故C正确；对于D：因为点、在直线上，点关于点对称点为，点关于点对称的点为，则过和的直线方程为，即，所以直线关于点对称的直线方程为，故D正确；故选：ACD 11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为B.三棱锥S-ABC体积的最大值为C.的取值范围是D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB，利用求得后可得其范围判断C，把棱锥的两个面和摊平，利用平面上的性质求的最小值判断D．【详解】由已知，圆锥侧面积为，A错；圆周上，易得，．B正确；，又中，，所以，所以．C错；时，把和摊平，如图，的最小值是，此时，，，，，D正确．故选：BD． 12.已知的内接四边形中，，下列说法正确的是（）A.四边形的面积为B.该外接圆的直径为C.D.过点D作交于点，则【答案】AC【解析】【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A，连接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四边形的面积为，故A正确； 对于B，设外接圆半径为，则，故该外接圆的直径为，半径为，故B错误；对于C，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：，由于，所以，即，解得，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，故，故C正确；对于D，由C选项可知：，故，且，因为，由对称性可知：为的平分线，故，由A选项可知：，显然为锐角，故，， 所以，所以，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.【答案】0.25##【解析】【分析】找出对应的数据，再根据古典概型即可得解.【详解】解：由数据可知，表示恰有两天下雨的数据为共5组，所以三天中恰有两天下雨的概率近似为.故答案为：.14.平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．【答案】3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0【解析】 【详解】设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝，∴c＝3或c＝－7，即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.15.已知圆柱体体积是1，设分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积________．【答案】【解析】【分析】两个圆锥体公共部分为两个相同的圆锥，底面半径为，高为，由圆锥的体积求解即可.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱体体积，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，如下图，两个圆锥体公共部分为两个相同的圆锥，底面半径为，高为，即每个圆锥的体积为：，所以两个圆锥的公共部分为：.故答案为：. 16.如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且．设的周长为，的周长为，设，记，则的值域为_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，化简得到，设的边长为1，用和表示，，，再利用，得到，进而得到，通过和的范围，求出的范围，进而可求出的范围.【详解】延长，交于，因为为的重心，所以，为中点，所以，，所以，，得，整理得，，设的边长为1，则，，在中，由余弦定理得，，所以， ，因为，所以，因为，，所以，，，又，则有，因为，所以，，因为，，所以的最小值为，最大值为，所以，单调递增，则，所以，，即的值域为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知坐标平面内两点．（1）当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；（2）若直线的方向向量为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；（2）根据方向向量得，解方程即可得出答案.【小问1详解】因为倾斜角为锐角，则，又即，解得． 【小问2详解】直线的方向向量为18.在中，角的对边分别为，且．（1）求；（2）若为角的平分线，点在上，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，从而得解；（2）由得到，再由余弦定理得到，即可求出，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，所以在中，，，所以，则，因为，所以．【小问2详解】由，得，即①．由余弦定理得，所以②． 由①②得（舍去）或，所以．19.某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了60名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，以及该组数据的众数和中位数；（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和的三组中抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率．【答案】（1），众数为85，中位数为76（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再求出众数和中位数；（2）首先求出各段中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由图可知：，所以， 众数为,因为，，所以中位数位于，设中位数为，则，，即中位数为.【小问2详解】由图可知分数在的概率为，分数在的概率为，分数在的概率为，所以若按分层抽样从这三组中抽人，则分数在的人数为人，分数在的人数为人，分数在的人数为人，抽取的人中分数在内的有人，记这人分别为，分数在内的有人，记这人分别为，分数在内的有人，记这人分别为，从人中随机抽取人的情况为，，共15种，其中人均在内的情况为，人均在内的情况为，故人的成绩在同一区间的情况共4种，所以人的成绩在同一区间的概率为.20.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．（1）若，求的斜坐标；（2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示． ①若，求向量的斜坐标；②若，且，求．【答案】（1）（2）①；②3【解析】【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.【小问1详解】，的斜坐标为．【小问2详解】设分别为与同方向的单位向量，则， ①②由题，由，知，由，知：，，解得，则．21.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，平面平面.（1）为三角形内（含边界）的一个动点，且，求的轨迹的长度；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）作，连接，可以证明的轨迹为线段，求出的长度即可； （2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，根据向量关系求出值即可.【详解】（1）作，连接，由题知平面，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，因为，且，所以平面，所以的轨迹为线段，在中可解得;（2）存在.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系,所以，所以，设平面的法向量，所以，所以平面的一个法向量，设，所以，所以， 解得或（舍），所以.【点睛】本题考查线面垂直以及利用向量法求解线面角问题，向量法是几何与代数的纽带，使计算化繁为简，同时熟悉线面平行、垂直的证明方法，属中档题.22.如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线．（1）若，求面积最大值及取得最大值时的值；（2）若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？（3）若，，，求的值．【答案】（1）时，；（2）时，的最大值等于2（3）4【解析】【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定义和面积公式进行求解；（2）利用平面向量的数量积的几何意义进行化简可得，再求最值即可；（3）先由直角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解.【小问1详解】由为直径得圆周角，， ，所以当，即时，．【小问2详解】由与相似得，又，所以，所以当时，的最大值等于2【小问3详解】由相似三角形得，由直角三角形得，所以