广东省珠海市 2023-2024学年高二数学上学期10月阶段考试题(Word版附解析)
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珠海市斗门一中2023-2024学年度第一学期第一阶段考试高二数学试题本试卷共6页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,( )AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】∵,∴,故选:C.2.已知向量,,且,则实数()A.B.2C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示,列出方程,即可求解.【详解】由向量,,因为,可得,解得.故选:B.3.某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动,已知该校高一年级有学生1100人,高二年级有学生1000人,高三年级有学生900人.现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查,则抽取的高二年级学生人数为()A.18B.20C.22D.30【答案】B【解析】【分析】根据已知条件,结合分层抽样的定义域计算方法,即可求解.
【详解】由分层抽样的定义可知,从全校学生中用分层抽样的方法抽取人进行调查,则抽取高二年级的学生人数为.故选:B.4.已知,,则等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可.【详解】,.故选:A.5.新高考按照“3+1+2”模式设置,其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目,“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目,“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目,则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求得所有可能选考的可能性,再求满足题意的可能性,利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】根据题意,从物理、历史中选择1门,从化学、生物、政治、地理选择2门,所有的可能有如下12种;物理,化学,生物;物理,化学,政治;物理,化学,地理;物理,生物,政治;物理,生物,地理;物理,政治,地理;历史,化学,生物;历史,化学,政治;历史,化学,地理;历史,生物,政治;历史,生物,地理;历史,政治,地理;学生甲选择科目中包含物理和生物,则有如下3种;物理,化学,生物;物理,生物,政治;物理,生物,地理.故满足题意的概率.故选:.
6.已知三棱锥,点M,N分别为,的中点,且,,,用,,表示,则等于( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用向量线性运算即可求得结果.【详解】因为,,,所以.故选:D.7.一个公司有8名员工,其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600,另两位员工的月工资数据不清楚,那么8位员工月工资的中位数不可能是()A.6800B.7000C.7200D.7400【答案】D【解析】【分析】根据中位数的定义,由已知数据确定中位数的范围,由此判断正确选项.【详解】∵一个公司有8名员工,其中6名员工的月工资分别为6200,6300,6500,7100,7500,7600,∴当另外两名员工的工资都小于6300时,中位数为(6300+6500)÷2=6400,当另外两名员工的工资都大于7500时,中位数为(7100+7500)÷2=7300,∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[6400,7300],∴8位员工月工资的中位数不可能是7400.故选:D.8.正方体的棱长为2,若动点在线段上运动,则的取值范围是()
A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以为原点,建立空间直角坐标系,求得,,,设,求得,即可求解.【详解】以为原点,以,,所在的直线为轴、轴和轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,,,可得,,,因为点在线段上运动,设,且,所以,可得,又因为,所以,即.故选:A.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的0分.9.已知空间向量,则下列说法正确的是()A.B.向量与向量共线C.向量关于轴对称的向量为D.向量关于平面对称的向量为【答案】ABC【解析】
【分析】根据空间向量模的公式,结合共线向量、线对称、面对称的性质逐一判断即可.【详解】A:因为,所以本选项说法正确;B:因为,所以向量与向量共线,因此本选项说法正确;C:设的起点为坐标原点,所以该向量的终点为,因为点关于轴对称的点的坐标为,所以向量关于轴对称的向量为,因此本选项说法正确;D:设的起点为坐标原点,所以该向量的终点为,因为点关于平面对称点的坐标为,所以向量关于平面对称的向量为,故选:ABC10.给出下列命题,其中正确的命题是()A.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线B.若对空间中任意一点,有,则四点共面C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线D.已知向量,则在上的投影向量为【答案】CD【解析】【分析】根据已知得出,即可判断A项;根据空间向量的有关定义及其结论,可判断B、C项;根据投影向量的概念,即可得出D项.【详解】对于A项,由已知可得,所以或,故A项错误;对于B项,因为,所以四点不共面,故B项错误;对于C项,根据空间向量基底的概念,可知C项正确;对于D项,因为,,
所以,在上的投影向量为,故D项正确.故选:CD.11.从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛,记事件A为“三名学生都是女生”,事件B为“三名学生都是男生”,事件C为“三名学生至少有一名是男生”,事件D为“三名学生不都是女生”,则以下正确的是( )A.B.事件A与事件B互斥C.D.事件A与事件C对立【答案】ABD【解析】【分析】由独立乘法公式求,根据事件的描述,结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为,则,A正确;两事件不可能同时发生,为互斥事件,B正确;事件包含:三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生,其对立事件为,D正确;事件包含:三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生,与事件含义相同,故,C错误;故选:ABD12.为了养成良好的运动习惯,某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位:分钟),分别为53,57,45,61,79,49,,若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3,则的值可能为()A.58B.59C.62D.64【答案】AD【解析】【分析】先对数据从小到大排序,分,,三种情况,舍去不合要求的情况,列出方程,求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79.若,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57,他们的差为4,不符合条件;
若,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61,它们的差为18,不符合条件;若,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61(或61和x),则,解得或故选:AD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.已知,,若,则______.【答案】【解析】【分析】根据空间向量共线的坐标表示,列出方程,即可求解.【详解】由向量,,因为,可得,解得.故答案为:.14.在已知四面体中,已知,,两两垂直,且,,,若是的重心,则______.【答案】【解析】【分析】根据三角形重心的性质和向量的线性运算,得到,结合向量的数量积的运算公式,即可求解.【详解】如图所示,取的中点,根据三角形重心的性质,可得,根据向量的运算法则,可得,所以,所以,即.故答案为:.
15.社会实践课上,老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务,已知两人能完成该项任务的概率分别为,则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据两人是否完成任务之间是相互独立,结合独立事件和对立事件的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意知,两人能完成该项任务的概率分别为,且两人是否完成任务是相互独立的,可得两人都未完成任务的概率为,则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为.故答案为:.16.已知是空间单位向量,,若空间向量满足,,则最大值是_______.【答案】【解析】【分析】由列方程,利用已知条件化简,结合基本不等式求得的最大值.【详解】依题意是空间单位向量,且,,,
,,当且仅当时等号成立,所以,所以.故答案为:四、解答题:本大题共6小题,第17题满分10分,其余各题每小题满分12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从2名男生(记为,)和2名女生(记为,)这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛(每人被选到的可能性相同).(1)请写出该试验的样本空间;(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根据题意把所有的可能结果列出即可;(2)由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可;(3)由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可.【小问1详解】解:由题知,样本空间为;【小问2详解】由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,
故;【小问3详解】由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,故.18.已知四棱锥中,底面为矩形,且,,若平面,,分别是线段,的中点.(1)证明:;(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,确定点的位置:若不存在,说明理由;【答案】(1)见解析(2)存在,【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理,先证明平面,即可得出结论;(2)过点作,交于点,则平面,且,再过点作交于点,则平面且,从而平面平面,即可得出结论.【详解】(1)证明:连接,则,,,,,平面,,,平面,
平面,;(2)解:过点作,交于点,则平面,且.再过点作交于点,则平面且,平面平面.平面,平面.∴存在点满足,使得平面.【点睛】本题考查线面垂直,线面平行,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面垂直,线面平行的判定定理是关键.19.现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表:投资股市:投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率购买基金:投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率(1)当时,求的值;(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据随机事件概率的性质,由可得出答案;(2)先设出各个事件后得出,由题意得,且,从而解出p的取值范围。【小问1详解】
解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,∴.又,∴.【小问2详解】记事件为“甲投资股市且获利”,事件为“乙购买基金且获利”,事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”,则,且,相互独立.由题意可知,.∴.∵,∴.又,,∴.∴.20.俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题,某网站为此进行了调查,现从参与者中随机选出100人作为样本,并将这100人按年龄分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示:(1)求样本中数据落在的频率;(2)求样本数据的第50百分位数;(3)若将频率视为概率,现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行座谈,求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.【答案】(1)0.4(2)52.5
(3)【解析】【小问1详解】由频率分布直方图可得:组距为10,所以:,得:,故样本中数据落在的频率为:.【小问2详解】设第50百分位数为,易得位于50和60之间,则有:解得:.【小问3详解】分组人数为:人;分组人数为:人,利用分层抽样的方法易得:分组抽人,分组抽人,从这6人中随机抽取2人进行座谈,抽取的2人中至少有1人的年龄在分组,即:2人中有1人的年龄在分组,另1人的年龄在分组;2人的年龄都在分组,故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为:.
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