重庆市第八中学2022-2023学年高二数学上学期期中复习试题（Word版附解析）

重庆第八中学2024届高二期中复习试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（）A.5B.6C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量模的公式计算得解.【详解】解：由题得.故选：C2.若椭圆过点，则其焦距为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将点代入椭圆方程求出，再根据求出半焦距，从而可得焦距.【详解】解：因为椭圆过点，所以，解得，所以，所以，解得，所以焦距，故选：D.3.若直线的一个法向量，则该直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据直线的方程可得直线的方向向量，结合题设条件可得的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.【详解】由直线的方程为，可得直线的斜率为，所以直线的方向向量为，根据题意，可得向量垂直，所以，解得即直线的斜率为，设直线的倾斜角为（），则，所以.故选：B.4.阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案．【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为，因为椭圆的离心率为，面积为，所以，解得，所以椭圆C的方程为， 故选：A.5.已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，则，所以是直线与所成的角（或其补角），设的中点为，则，在中，解三角形即可得答案．【详解】解：如图，设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，，是的中点，，是直线与所成的角（或其补角），设的中点为，则，在中，，，，直线与所成角的余弦值为．故选：C．6.如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，从而有，结合即可求椭圆离心率的取值范围．详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即，又，所以，两边同时除以，得，即，解得或，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围为，故选：D． 7.如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值．【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，，∵，底面，∴四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，过点作，∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，过点M作交于点P，则，取，连接，则四边形是矩形．可得平面，在中，，得，∴点P到直线的距离的最小值为．故选：B．8.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.【详解】设，因为，，由重心坐标公式得重心为，代入欧拉线方程得：①的中点为，，所以的中垂线方程为，联立，解得所以的外心为， 则，化简得：②联立①②得：或，当时，、重合，舍去，所以顶点的坐标是故选：A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.二、选择题（本题共小4题，每小题5分，共20分．在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为，分和两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程．【详解】解：椭圆中，，焦距，双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，设双曲线的方程为，即，当时，，解得，双曲线的方程为； 当时，，解得，双曲线的方程为；综上，双曲线的方程可能为或．故选：AD.10.在四面体P-ABC中，下列说法正确的是（）A.若，则B.若Q为△ABC的重心，则C.若，，则D.若四面体P-ABC的棱长都为2，点M，N分别为PA，BC的中点，则【答案】ABC【解析】【分析】根据立体几何的向量运算法则、重心的向量表示法则以及向量的模值计算进行逐项判断即可.【详解】解：由题意得：对于A：∵，∴，∴，∴，∴，即故A正确；对于B：若Q为△ABC的重心，则，∴，∴故B正确；对于C：∵，∴，故C正确； 对于D：∵，∴∵∴故D错误．故选：ABC11.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得，（*），故A正确；，故B正确；（*）两式相加，可得，故C不正确；由（*）可得，两式相乘可得，，故D正确.故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A.B.C.向量与的夹角是60°D.与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则 而，所以A正确.=0,所以B正确.向量,显然为等边三角形，则.所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确又，则，所以，所以D不正确.故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.渐近线方程为且焦点在轴上的双曲线的离心率是______________________.【答案】【解析】【分析】由题意，结合，即得解【详解】由题意，设双曲线的方程为： 故渐近线方程为即则故答案为：14.已知在一个的二面角的棱上，如图有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，则的长为____________________【答案】【解析】【分析】由题意，利用向量法即可求出的长.【详解】解：在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，所以CD的长为，故答案为：．15.设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为，且．则的轨迹的方程为___________.【答案】.【解析】 【分析】设点根据题意求出，设根据，求出分别用来表示，然后代入.【详解】设由点向轴作垂线，垂足为，所以设，又因为即所以，又因为是圆上任意一点，即所以，即.故答案为：16.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：设M,N的中点坐标为P，,则；由于，化简可得，根据椭圆定义==6，所以12.考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知直线：，直线：. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若，求直线方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.(2)若，则解得或,再验证从而得出答案.【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，此时则，解得，②若直线不过原点，则斜率为，解得.因此所求直线的方程为或（2）①若，则解得或.当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去；当时，直线：，直线：，满足题意；因此所求直线：【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.18.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、且，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6，离心率之比为1:4． （1）求椭圆和双曲线的方程；（2）若点P是椭圆和双曲线的一个交点，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据半焦距，设椭圆长半轴为，由离心率之比求出，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程．（2）由椭圆、双曲线的定义求出与的长，在中，利用余弦定理求出的值．【小问1详解】解：由题意知，半焦距，设椭圆长半轴为，则双曲线实半轴，离心率之比为，，即椭圆长半轴为，双曲线实半轴，椭圆的短半轴等于，双曲线虚半轴的长为，椭圆和双曲线的方程分别为：和．【小问2详解】解：不妨设点在第一象限，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，，，又，在中，利用余弦定理得：，．19.如图，在四棱锥中，平面平面，，． （1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点E在棱上，且平面，求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意先证明平面，然后证明.（2）建立空间直角坐标系，找到平面与平面的法向量，然后根据向量中面面角计算公式计算即可.（3）先通过共线向量性质得出，用表示E点坐标，再根据题意计算出，最后计算得出线段的长.【小问1详解】证明：因为平面平面，且平面平面，因，且平面所以平面．因为平面，所以．【小问2详解】解：在中，因为，所以，所以．所以，建立空间直角坐标系，如图所示． 所以，易知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则．则，即平面与平面夹角的余弦值为．【小问3详解】解：因为点E在棱，所以．因为．所以．又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以．所以，所以．20.已知双曲线的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率． 【答案】（1）＝1（2）【解析】【详解】(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3＋＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，∴点A的坐标为，代入双曲线方程得＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.21.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接． （1）求证：平面；（2）若时，求二面角的正弦值；（3）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在线段上取一点，使得，证明，然后由线面平行判定定理求证；（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法，求解二面角的正弦值．（3）令，，，，求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角即可求出，得到．【小问1详解】在线段上取一点，使得，如图， ，且，，，且，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．【小问2详解】以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，，，，，，故二面角的正弦值为．【小问3详解】设，，，，，设平面的一个法向量为，，，，令，则，，，由题意可得：，，，． 22.已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与轨迹交于两点，若以为直径的圆经过定点，求证:直线经过定点，并求出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题干条件列出等式，结合，即得解；（2）将直线与椭圆联立，转化以为直径的圆经过定点为，用点坐标表示，代入韦达定理，即得解；（3）表示，代入韦达定理，换元法求解最值即可【小问1详解】由题意，设椭圆方程为由于椭圆离心率为，且过点解得故椭圆的标准方程为：【小问2详解】由直线 联立，可得设，则当时有若以为直径的圆经过定点，所以由得，将代入可得代入韦达定理可得：化简可得：解得：或若，直线过，不合题意；故，则直线，故直线过定点【小问3详解】由题意，设，则