四川省内江市第六中学2023-2024学年高一数学上学期开学考试（精英班）试题（Word版附解析）

内江六中高2026届高一上学期入学考试（精英班）时间：120分钟满分：150分姓名：__________学号：__________成绩：__________一、单选题（每小题5分，共40分，将答案写在下方表格中）1.下列说法中，正确的是（）A.若a>b，则<B.若a>b，则ac>bcC.若a>b>0，c>d>0，则ac>bdD.若a>b，则<【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质判断，也可举特例说明．【详解】选项A中，若满足，但仍然有，A错；选项B中，若，则，B错；选项C中，则得，，∴，C正确；选项D中，若，则，甚至中有一个为0时，或无意义，D错．故选：C．2.下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据“”用于元素与集合，“”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对.【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错；对于②，是任意集合的子集，故②对；对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对；对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错；对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错.故错误的有①④⑤，共3个， 故选：C.3.化简的结果为（　　）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用同底数幂的运算法则进行计算.【详解】故选：C.4.不等式的解集是（）A.或B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分类讨论、与三种情况，将绝对值不等式转化一元一次不等式，解之即可.【详解】因为，当时，，则不等式可化为，解得，故；当时，，则不等式可化为，解得，故；当时，，则不等式可化为，解得，故；综上：或，即不等式的解集为或.故选：A.5.已知集合M满足Ü，则所有满足条件的集合M的个数是（） A5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】由题意可知集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即可得答案.【详解】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即．故选：C.6.已知当自变量x在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则常数m的值可为（）A.B.C.1D.3【答案】C【解析】【分析】配方得时，，分、和讨论即可.【详解】二次函数，该函数图象开口向下，当时，取得最大值7，当自变量在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，当时，时取得最小值，时取得最大值，此时最大值与最小值的差为；当时，和分别取得最小值和最大值，此时最大值与最小值的差大于4，不符合题意；当时，和分别取得最大值和最小值，此时最大值与最小值的差小于4，不符合题意；由上可得，的取值范围是，故选：C.7.函数的最大值为（）A.8B.C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果.【详解】设，则，即，所以，因为，所以当时，函数取得最大值为.故选：A8.若正实数满足，则的最小值是（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1"的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.【详解】设，，则，所以，因为，当且仅当时取等号.所以.故选:.【点睛】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化是中档题.二、多选题（每小题5分，漏选得2分，多选得0分．将答案写在下方表格中）9.已知集合，则下列选项中正确的是（）A.B. C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据已知集合逐个分析判断【详解】对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：ACD10.下列结论中，错误的结论有（）A.取得最大值时x的值为1B.若，则的最大值为－2C.函数的最小值为2D.若，，且，那么的最小值为【答案】ABCD【解析】【分析】根据二次函数的最值以及基本不等式判断各选项.【详解】对于A，的对称轴为，所以取得最大值时x的值为，故A错误；对于B，令若，，，，当时，取等号,所以，则.则的最大值为，故B错误； 对于C，函数令，当时，，不满足题意，故C错误；对于D，若，，且，，当时，即时，取等号.所以的最小值为，故D错误.故选：ABCD.11.已知、为正实数，，则（）A.B.的最大值为C.的最小值为D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用二次函数的基本性质可判断C选项.【详解】因为、为正实数，，对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，因为，则，故，当且仅当时，等号成立，所以，最大值为，B对；对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C错；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，D对.故选：ABD.12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（）A.B.C.的最大值为1，最小值为0D.与的图象有2个交点【答案】AB【解析】【分析】对于A，根据高斯函数的定义直接计算即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，由选项B可知是周期为1的周期函数，再分析在上的解析式，即可判断，对于D，在同一个坐标系中作出两函数的图象判断.【详解】对于A，由题意得，所以A正确，对于B，，所以B正确，对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，则当时，，当时，，当时，，综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，所以C错误， 对于D，由选项C可知，且的周期为1，作出与的图象，由图象可知与的图象有无数个交点，所以D错误，故选：AB三、填空题（每小题5分，共计20分）13.化简_________.【答案】【解析】【分析】根据给定式子，确定a的范围，再化简二次根式作答.【详解】依题意，，所以.故答案为：14.已知集合，，则________.【答案】【解析】【分析】利用不等式求得集合的元素，根据集合的交集，可得答案.【详解】由，，解得，则；由，解得或，则或所以.故答案为：.15.若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．【答案】 【解析】【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，在根据题意分析即可.【详解】∵函数的定义域为，∴在上恒成立，①当时，恒成立，满足题意；②当时，要使在上恒成立，则解得．综上若函数的定义域为，则实数的取值范围是．故答案为：.16.如图，矩形分别是矩形边上的点，其中，以为邻边的矩形的面积记为，则的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】设（），表示出，然后由∽可表示出，求出矩形的面积，换元后利用基本不等式求最小值即可.【详解】设（），因为，，所以，所以，因为四边形为矩形，所以， 所以，因为，所以，所以∽，所以，即，所以，所以矩形的面积，令，则，，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值4.故答案为：4四、解答题（17题每题10分，其余各题12分，共计70分）17.（1）计算:；（2）化简:.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过指数运算公式及绝对值的定义即可计算；（2）通过分式运算法则即可运算.【详解】（1）原式;（2）原式,.18.已知关于x的方程有两个实数根， （1）若时，求的值；（2）若，求实数m的值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由利用韦达定理可得答案；（2）由利用韦达定理可得答案.【小问1详解】时，，，可得，，；【小问2详解】由，得，，，由，得，解得舍去，或，所以实数m的值为.19.已知为实数，，（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用交集和补集的定义即可求解； （2）利用集合的运算与子集的关系，结合子集的定义即可求解.【小问1详解】，由，得，，，.【小问2详解】，，由（1）知，，当时，,解得；当时，，解得,综上所述：实数a的取值范围是.20.已知.（1）求证：；（2）求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）利用基本不等式有，即可证结论；（2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.【小问1详解】由，，当且仅当时取等号. 所以，得证.【小问2详解】当且仅当时取等号，故的最小值为2.21.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若最小值记为，，且满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先分类讨论得到不含绝对值解析式，再由得到，从而解一元一次不等式即可得解；（2）先利用分类讨论与一次函数的单调性求得的最小值，再利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可证得结论.【小问1详解】因为，当时，；当时，；当时，；因为，所以，当时，得，解得，故；当时，得，解得，故； 当时，得，解得，故；综上：，即的解集为.【小问2详解】由（1）得，当时，，则；当时，，则，即；当时，，则；综上：，故最小值为，即，所以，又，令，则，且，所以，当且仅当且，即时，等号成立，此时，所以，即.22.2022年9月22日，中国政府提出双碳目标两周年之际，由《财经》杂志、《财经十一人》、中创碳投联合主办的第二届“碳中和高峰论坛”在京落幕.过去一年，全球地缘政治重构，低碳转型先驱欧洲陷入能源危机，中国也不时出现煤荒电荒.在此背景下，与会专家观点各异，共识是低碳转型大势所趋，不会被暂时的波动所动摇.为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）请写出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元【解析】【分析】（1）分和两种情况利用利润＝售价－成本可求出的解析式；（2）由（1）得到，根据分段函数的性质，分类讨论当和时的最大值，比较大小即可得答案.【小问1详解】由题意得当时，，当时，，所以，【小问2详解】由（1）得，当时，，所以当时，取得最大值4250，当时，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值4070， 因为，所以当，即2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元.