2023年新高考一轮复习讲义第42讲 直线、平面垂直的判定与性质（解析版）

第42讲　直线、平面垂直的判定与性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试）设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（    ）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件以及线面垂直的知识确定正确答案.【详解】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要条件.故选：A2．（2022·安徽·高三开学考试）在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面平面，则下列说法一定正确的是（    ）A．平面B．平面C．平面D．平面【答案】D【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足，进而根据平面，即可判断平面.【详解】由题意得，，平面,平面,则平面，又平面平面，∴，因为平面,平面,故平面,因此平面．故D正确而，平面,平面,则平面,故平面,选项A错误，同理选项B错误；由于与相交不垂直，故与平面不垂直，因此不垂直平面，故C错误；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：D．3．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试）在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（    ）A．平面B．平面平面C．平面D．平面平面【答案】D【分析】画出正方体，结合几何体图像，根据线面平行、面面垂直、线面垂直、面面垂直的判定条件判断各选项即可.【详解】如图，因为，而与平面相交，则A选项不正确；因为，，所以平面平面，而平面与平面相交，则B选项不正确；在矩形中，与不垂直，即与平面不垂直，则C选项不正确；设的中点为G，因为，所以，又因为，，所以，所以平面，所以平面平面，则D选项正确.故选：D.4．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知正方体中，是的中点，则下列结论正确的是（    ）A．与相交B．C．平面D．平面【答案】B【分析】对于A，作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；对于B，由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 对于C，根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线的位置关系，可得答案；对于D，过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.【详解】对于A，由题意可作图如下：因为与异面，故A错误；对于B，连接在正方体中，如下图：，平面，因为平面，所以，因为，所以平面，平面，所以，故B正确；对于C，连接，如下图：试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 可得平面，因为与不平行，所以不垂直平面，故C错误；对于D，取中点，连接，如下图：则，因为交平面于，不平行平面，即不平行平面，故D错误．故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，，，，，则四面体中存在面面垂直关系的对数为（    ）A．2B．3C．4D．5试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【分析】分别证明出平面平面，平面平面，平面平面，即可得到答案.【详解】因为，，，所以，所以.又，，平面,平面.所以平面.又平面，平面，所以平面平面，平面平面.因为，，，所以，所以.又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，综上可知有3对.故选:B.6．（2022·河南·高三阶段练习）在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则下列选项中不正确的是（    ）A．平面B．平面C．平面平面D．点到平面的距离为1【答案】C【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，由面面垂直的性质定理可得平面，得出，再由可得线面垂直，即可判断B，由B及平面平面可得矛盾，判断C，利用，转化为求点到平面的距离即可判断D.【详解】如图，对于A，取PB的中点为N，连接MN，MD，CN.则，且，故四边形MNCD是平行四边形﹐则MD//CN,故MD//平面PBC，故A正确；对于B，易求得，则，而平面平面，是交线，故平面PAD，则，而由与可知，，故平面PBD，故B正确；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 对于C，由选项B知，若平面PCD平面PAD，因为是交线，则PA平面PCD，与PA平面PBD矛盾，故C错误；对于D，连接AC交BD于，则，即，故A到平面PBD的距离为C到平面PBD的距离的2倍，而平面PBD，且，故C到平面PBD的距离为1，故D正确.故选：C.7．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，正四棱台中，点分别是棱的中点，则下列判断中，不正确的是（    ）A．共面B．平面C．平面D．平面【答案】C【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得.【详解】延长正四棱台的侧棱相交于，则三棱锥为正四棱锥，连接，都在平面内，故A正确；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因为分别是棱的中点，所以，由正棱锥的性质可知，所以，即平面，故B正确；因为点分别是棱的中点，所以，，设，则平面，平面，∴，平面，平面，∴平面，显然平面与平面不平行，故C错误；因为，平面，平面，所以平面，故D正确.故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（　　）A．平面平面ABNB．C．平面平面AMND．平面平面AMN【答案】C【分析】将几何体补成正方体后再进行判断．【详解】分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∵BC⊥平面ABN，BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；连接PB，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC．∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角，∵AF=CF=，AC=，∴AF2+CF2≠AC2，即∠AFC≠，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选C．【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，在解题时能运用补的思想将其补成一个正方体，然后求解9．（多选）（2022·河北邯郸·高三开学考试）如图，在正方体中，动点在线段上，则（    ）试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．直线与所成的角为B．对任意的点，都有平面C．存在点，使得平面平面D．存在点，使得平面平面【答案】BC【分析】A选项，根据线线平行，找到直线与所成的角，根据正方体的性质求出其度数；B选项，证明出平面，得到结论；C选项，当点在处时，满足平面平面；D选项，找到平面与平面所成的夹角，方法一：结合圆的知识点，推导出；方法二：设出未知数，利用正切的和角公式得到，求出最值，得到为锐角.【详解】因为，所以即为直线与所成的角，，故错误；因为⊥平面，平面，所以⊥，又因为，，所以平面，故平面，故正确；当点在处时，平面//平面，所以存在点，使得平面//平面，故C正确.如图，过点作，则为平面与平面的交线，在正方体中，平面，所以平面，所以，，所以即为平面与平面所成的夹角，方法一：因为点一定在以为直径的圆外，所以，所以不存在点，使得平面平面，故D错误.方法二：设正方体的棱长为，则，所以，当时，取得最大值，为，此时为锐角，故D错误.试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：BC10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中中，为正方形，，E为线段的中点，F为与的交点，．则下列结论正确的是（    ）A．平面B．平面C．平面平面D．线段长度等于线段长度【答案】ABC【分析】由，可判断选项A,由面面垂直的判定定理进而可判断选项C,由线面平行的判定定理可判断选项B,由线面垂直的性质定理加上勾股定理可判断选项D.【详解】因为是正方形，所以．又因所以平面平面，，所以平面，因此A正确；而平面，所以平面平面，因此C正确；因为F是的中点，而E为线段的中点，所以平面，平面，所以平面，因此B正确；对于D，因为是边长为1的正三角形，是正方形，所以．又由平面，有，所以．在中，，，又分别是等腰三角形的底边和腰上的中线，所以线段与的长度不相等（否则，是正三角形），因此D不正确；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：ABC．11．（2022·全国·高三专题练习）已知平面、和直线、，则下列说法：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，，则.其中正确的说法序号为________．【答案】④【分析】利用面面垂直的性质定理逐项判断可得出结论.【详解】对于①，若，，，则与的位置关系不确定，①错；对于②，若、不垂直，则与不垂直，②错；对于③，若，，则与不一定垂直，③错；对于④，由面面垂直的性质定理可知④对.故答案为：④.12．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】（或，等都可）试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【分析】先确定所填答案，如，再证明平面MBD⊥平面PCD即可，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质可得，从而可得平面MBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证.【详解】解：可填，由为菱形，则，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案为：.（或，等都可）13．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，．证明：平面平面；【答案】证明见解析试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【分析】由面面垂直的性质定理可证得平面，又因为平面，由面面垂直的判定定理即可证明平面平面.【详解】证明：因为平面平面，平面面，因为四边形为菱形，平面，平面，平面，平面面.14．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为的中点且．证明：.【答案】证明见解析【分析】由底面，证得，结合，证得平面，进而证得.【详解】证明：因为底面，平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以.15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，，，底面是菱形，，平面平面，．试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 证明：平面；【答案】证明见解析【分析】取CD中点E，连接，要证明平面，只需证明垂直平面内两条相交直线即可.【详解】在四棱柱中，取CD中点E，连接，如图，菱形中，，因，，平面，则平面，而平面，即有，因，则是正三角形，，又平面平面，平面平面，平面，则有平面，而平面，于是得，又，平面，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以平面．16．（2022·全国·高三专题练习）如图，四面体的棱平面，．证明：平面平面；【答案】证明见解析【分析】由题意证明和，利用面面垂直的判定定理及可证明结论.【详解】证明：由题意知，作于M，连接，则，故，则，则，故．又，则，又，平面，故平面，又平面，则平面平面,即平面平面．【素养提升】1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）如图，在平面四边形中，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，现将沿折起，并连接，使得平面平面，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥的体积.【详解】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD，又∵AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC，又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC⊂平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，又∵BD⊂平面BCD，∴AD⊥BD，即为直角，又∵为直角，∴取的中点，连接OC，OD，由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD，可得为三棱锥外接球的球心，由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∴，∵BC⊥平面ACD，为直角，∴三棱锥的体积为故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据外接球表面积求得外接球半径，进而求得三棱锥的高，并推出侧面为等腰直角三角形，作辅助线，将转化为一条线段，从而确定最小时的线段的位置，再结合三角函数值，解直角三角形,求得答案.【详解】依题意，，解得，由是正三角形可知：其外接圆半径为，设点S到平面ABC的距离为h，故，解得或，则或（舍去），故，则,而，故为等腰直角三角形，，故为等腰直角三角形，,则,又,故平面SCM，取CB中点F，连接NF交CM于点O，则,则平面SCM,试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故平面SCM，则，要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则；再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中位置，当共线且时，的最小值即为的长，由为等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故选：B.3．（2022·北京·二模）如图，在正方体，中，E，F，G分别为棱上的点（与正方体顶点不重合），过作平面，垂足为H．设正方体的棱长为1，给出以下四个结论：①若E，F，G分别是的中点，则；②若E，F，G分别是的中点，则用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形一定是等边三角形；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ③可能为直角三角形；④．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①④【分析】①等体积法判断；②根据正方体的性质画出平行于平面的可能截面情况；③由正方体性质，通过定两点，移动另一点判断的内角变化趋势即可；④设，利用等体积法，结合正余弦定理、三角形面积公式、锥体体积公式化简即可判断.【详解】①由，而，所以，可得，正确；②根据正方体的性质平行平面的平面有如下情况：当截面在面与面之间时为六边形，在面左上或面右下时为等边三角形，错误；③分别在上不为顶点任意点，当从到过程递减，即小于，同理知：也小于，不可能为直角三角形，错误；④若，又，即，所以，则，即，所以，即，正确；故答案为：①④【点睛】关键点点睛：①④应用等体积法计算或转化，②试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由正方体性质及平面的基本性质作出截面判断；③根据正方体的性质，动点分析三角形的内角变化趋势.试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司