重庆市缙云教育联盟2024届高三数学上学期9月月考试题（Word版附答案）

★秘密·2023年9月22日17：00前重庆市2023-2024学年（上）9月月度质量检测2023.09高三数学【命题单位：重庆缙云教育联盟】注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足，其中为的共轭复数，则（    ）A．B．C．D．2．已知集合，，则下列判断正确的是（    ）A．B．C．D．3．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（    ）A．平均数为2，方差为3.1；B．中位数为3，方差为1.6；C．中位数为3，众数为2；D．平均数为3，中位数为2.4．函数，的零点个数为（    ）A．2B．3C．4D．55．已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（    ）A．2B．3C．4D．76．若函数在区间上有零点，则的最小值为（    ）A．B．C．D．7．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（    ） A．B．C．D．8．已知数列满足：，对于任意实数，集合的元素个数是（    ）A．个B．非零有限个C．无穷多个D．不确定，与的取值有关二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．在四面体ABCD中，，，E，F，G分别是棱BC，AC，AD上的动点，且满足AB，CD均与面EFG平行，则（    ）A．直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为B．四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1C．的面积的最大值为D．四面体ABCD的内切球的表面积为10．已知圆M：，圆N：，则下列选项正确的是（    ）A．直线MN的方程为B．若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5C．圆M和圆N的一条公切线长为D．经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为11．已知函数，则下列选项正确的是（    ）A．函数的值域为B．函数的单调减区间为，C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 D．若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是12．历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为.例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：.高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是（    ）A．B．为等比数列C．D．信封均被投错的概率大于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，，则在上的投影向量的坐标为.14．已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为.15．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是.16．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为.（参考数据：）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)数列的前项和为，求证：. 18．已知，，其中，为锐角．(1)求的值；(2)求的值．19．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）附：回归方程中，，参考数据（）5215177137142781.33.6(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施.20．如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，，，，．(1)若三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值；(2)求四棱锥体积的最大值．21．已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．22．已知函数．(1)判断函数的单调性；(2)设，证明：当时，函数有三个零点 ★秘密·2023年9月22日17：00前重庆市2023-2024学年（上）9月月度质量检测2023.09高三数学答案及评分标准【命题单位：重庆缙云教育联盟】1．D2．A3．A4．C5．D【分析】设P、C到直线AB的距离分别为，根据题意结合垂径定理可得，再根据结合几何关系分析求解.6．A【分析】设为函数的零点，则，转化为在直线上，根据表示点到原点的距离的平方，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.7．D【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得，进而求得.8．C【分析】讨论，，和且三种情况，根据题意可以得到：若，则；若，则；若，则；若，则.不妨从时开始讨论，得到的符号，最后得到答案.9．ACD10．AD11．BD【分析】当时，求得，得到函数的单调性和极值，再由当时，可得，画出函数的图象，根据图象，结合选项，逐项判定，即可求解.12．ABC【分析】选项A，用列举法即可得；选项B，构造新数列，利用定义法可证明是等比数列；选项C，由递推关系变形可得裂项形式，裂项后利用累加法求通项即可证；选项D，利用泰勒公式可得再对 13．14．15．16．7417．（1）设的公比为，由题意，可得，解得，所以，所以；（2）由（1）得，所以，所以，因为，所以，得证.18．（1）由题意知所以.（2）由题意知且为锐角， 所以，所以，所以tan2γ=2tanγ1-tan2γ=2×131-132=34，所以，因为为锐角，所以且，所以，则，故.19．（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.（2）将两边同时取自然对数，可得，由题中的数据可得，，，所以，则，所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为；（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，如果发生，则收益为万，即，同样，采用第3种方案，有 所以，，，.显然，最大，所以选择方案1最佳.20（1）如下图，若为中点，则，即，所以，即，  由，，，面，则面，由面，则，又，则面，由面，则，因为，，设，所以，，又，所以，则，故，，，由，而，，若到面的距离为，所以，则，所以与平面所成角的正弦值为. （2）  由，面面，构建如上图示的空间直角坐标系，则，令，根据，则，整理得，所以，故点轨迹是在面上以为圆心，为半径的圆上，要使四棱锥体积的最大，即到面的距离最大，综上，到面的最大距离为，又，所以最大体积为.21．（1）  设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：；（2）     由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：，则，所以直线l的方程为：，联立方程：，得：，  设，则，，，由条件可知：，，的周长，即定值为10；综上，曲线C的方向为，的周长.22（1）根据题意得，，，当时，，在上单调递增；当时，，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的最小值为，又，；，，故．，设，，则，，则，由，得．因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增．由于，故，又，由零点存在定理，存在，使得，所以有两个零点和，即方程有两个根和．的图象如下，     当时，因为，故方程有一个根；当时，其中，因为，故由图角可知，有两个不同的根，，且．综上，当时，函数有三个零点．