山东省日照市2023-2024学年高三数学上学期开学校际联考试题（Word版附解析）

2021级高三上学期校际联合考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的并集即可【详解】由，得，所以，由，得，所以，所以.故选：D2.已知角的终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及对应角终边上点求目标式的函数值即可.【详解】.故选：D 3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合奇偶性和单调性逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，即为奇函数，故A错误；对于选项B：因为是偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故B错误，对于选项C：偶函数，且当时，在区间上单调递增，故C正确；对于选项D：是偶函数，注意到，可知在区间上单调递减，故D错误；故选：C.4.命题“，”为真命题的充要条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】把特称命题为真命题转化为对有解，分离参数，求解函数最值即可求解.【详解】因为命题“，”为真命题，所以对有解，即对有解，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为，所以，即，故命题“，”为真命题的充要条件是.故选：A5.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系 （其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A.20B.27C.32D.40【答案】B【解析】【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.【详解】依题意得，解得，，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以.故选：B6.已知等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为（）A.B.C.0D.1【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质求得，然后用表示，构造函数，利用导函数求出最小值即可.【详解】设等差数列公差为，则由得，解得或（舍去），所以，因为，所以， 令，则，令得或（舍去），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：B7.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上有极小值，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题设有，讨论、，结合对称中心求参数，再由余弦函数的性质及极值的定义确定的值.【详解】由题意，函数与最小正周期相同，则，且.当时，的一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，故， ，，有极大值，无极小值，不合题意，当时，的一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，故，，，无极大值，有极小值，符合题意.故选：D.8.已知正实数，满足，则的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，故将化为，利用导数求的最大值即可.【详解】∵，∴即，设，则，且，所以在上，单调递增，正实数，，∴，即，所以等价于，即，∴，设， ∴，∴，设，，所以单调递减，且，所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，所以，即最大值为0，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题求解关键是将变形为，利用同构构造函数，结合的单调性知，即，从而将用表示，将目标函数化为的函数后再求最值.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.【详解】根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，，故A正确；由，取，可得，故B错误； 由可得，当且仅当即取等号，C错误；由基本不等式可知，当且仅当取等号，但，等号取不到，故D正确，故选：AD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）．A.函数的最小正周期为B.为函数图像的一条对称轴C.函数在上单调递减D.函数在上有3个零点【答案】BC【解析】【分析】利用两角和的余弦展开式，正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后根据函数的性质及图像逐项分析.详解】由题意得：， 所以，。∴的最小正周期，故A错误；，故B正确；∵，∴，∴函数在上单调递减，故C正确；令，即，因为，所以令，则，所以选项D的问题转化为与的交点个数问题，如图所示：观察可知，有2个零点，故D错误．故选：BC．11.已知函数，则（）A.函数只有两个极值点B.若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C.方程共有4个实根D.若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】利用导数研究的单调性、极值并画出函数图象，利用函数交点、数形结合判断各项正误即可.【详解】A：对求导得：，当或时，，当时，，即在，上单调递减，在上单调递增，因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；B：由上分析，曲线及直线，如下图，由图知：当或时，直线与有2个交点，所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；C：由得：，解得，令且，由图有两解分别为，，所以或， 而，则，则有两解；又，由图知也有两解，综上：方程共有4个根，对；D：因为直线过定点，且，，，记，，，所以，对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数研究函数性质并画出图象，利用函数的交点研究方程的根、不等式的解集.12.已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（）A.为偶函数B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】A选项，赋值法得到，进而得到，为奇函数，A错误；B选项，由为偶函数得到关于对称，所以；C选项，由结合函数为奇函数，得到，C正确；D选项，推导出的一个周期为6，利用关系式得到，结合函数周期得到.【详解】对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误； 对于B，因为为偶函数，所以，所以关于对称，所以，故B正确；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：BCD.【点睛】设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列为等比数列，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】因为数列为等比数列，，所以由，故答案为：14.已知函数的极小值为2，则______【答案】【解析】【分析】求函数的极小值的表达式，列方程求.【详解】函数的定义域为，求导得，令可得，当时，，函数在单调递减；当时，，函数在单调递增，故的极小值为，由已知可得，所以．故答案为：. 15.若是奇函数，则______.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质求即可得解.【详解】因为是奇函数,定义域关于原点对称,由,可得,所以且,所以,解得,所以的定义域为,关于原点对称，且，又,即,解得,此时,则，所以，符合题意.所以.故答案为：.16.在中，，为中点，，，则边的长为______.【答案】【解析】 【分析】设，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所设参数，结合三角形性质确定的长度.【详解】设，，在和中，，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又，即，整理得：，②联立①②得，，即，解得或，三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.【详解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为.18.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式； （2）数列满足，，求数列的前21项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；（2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可.【小问1详解】设公差为，由题设有，解得，，所以.【小问2详解】由题设，.所以数列的前21项和为211.19.设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，.（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.【答案】（1）不动点为1（2）【解析】【分析】（1）根据“不动点”定义，令，结合指数方程的解法求不动点； （2）问题化为在上无解，令，，进一步有在区间上无解，右侧构造函数求值域，结合对数函数性质列不等式组求参数范围.【小问1详解】由“不动点”定义知：当时，，所以，则或（舍去），所以，所以函数在上的不动点为1.【小问2详解】根据已知，得在上无解，所以在上无解，令，，所以，即在上无解，所以在上无解，设，在上单调递增，故所以或，可得或，又在上恒成立，所以在上恒成立，则，则.综上，实数的取值范围是.20.为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园.如图所示，为圆心，半径为米，点，，都在半圆弧上，设，，且. （1）若在花园内铺设一条参观线路，由线段，，三部分组成，则当取何值时，参观线路最长？（2）若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，则当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？【答案】（1）当时，参观路线最长（2）当时，杜鹃花的种植总面积最大【解析】【分析】（1）根据题设用表示出，，，应用倍角余弦公式、换元法及二次函数性质求参观路线的最大长度对应的取值；（2）利用扇形、三角形面积公式用表示出扇形、、的面积，再应用导数求种植总面积最大对应的取值.【小问1详解】如下图，连接，则，在中，，即，同理可得，且，所以参观路线的长度，令，即.当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.【小问2详解】 由题知：扇形的面积，的面积，的面积，所以杜鹃花的种植总面积，，令得或（舍），因为，所以，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以时，杜鹃花的种植总面积最大.21.已知数列和满足，，，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知可得、，结合等比数列定义写出通项公式即可；（2）由题设得，根据等比数列定义写出的通项公式，综合应用分组求和及等比数列前n项和公式求和即可.【小问1详解】由题设得，，所以. 又，，故，，，，所以，，得，所以数列是首项为16，公比为8的等比数列，故.【小问2详解】由题设，又，，，，故，所以数列是首项为2，公比为8的等比数列，故，因为，所以.22.已知函数．（1）讨论函数零点个数；（2）若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.【小问1详解】 由，得,设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，据此可画出大致图象如图，所以（i）当或时，无零点：（ii）当或时，有一个零点；（iii)当时，有两个零点；【小问2详解】①当时，即恒成立，符合题意；②当时，由可得，则，则，即，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当时，，即恒成立，即符合题意； ③当时，由（1）可知，，在上单调递增．又，，所以，使.i）当时，，即，设，则，所以在上单调递减，所以时，；ii）当时，，即，设，因为，令，则，又令，则，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，则，得在上单调递增，则时，，又时，，得当时，时，，由上可知，在上单调递增，则此时，综上可知，a的范围是.【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a的正负， 看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此求得参数a的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.