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山东省青岛市平度市2022-2023学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
山东省青岛市平度市2022-2023学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
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2022—2023学年度第二学期第二学段模块检测高一数学试题2023.07本试卷共6页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,请将答题卡上交.一、单项选择题:本大题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,是空间直角坐标系中的两点,点关于轴对称的点为,则两点间的距离为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据对称性求出点的坐标,然后直接利用空间两点间距离公式求解即可.【详解】因为,所以点关于轴对称的点,所以.故选:D.2.已知,,则=()A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】设,根据已知条件求出,再用模的公式求. 【详解】设复数,则,由已知得,解得,则有,,得.故选:A3.已知非零向量,满足,,若,则()A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接根据列式即可求出结果.【详解】因为,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:D.4.已知圆锥母线与底面所成角为,侧面积为,则该圆锥的体积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由给定条件可得圆锥轴截面是正三角形,再由侧面积求出底面圆半径及高即可求解作答.【详解】因为圆锥的母线与底面所成角为,则该圆锥的轴截面是正三角形,令圆锥底面圆半径为,则母线,圆锥侧面积,解得,圆锥的高,所以该圆锥的体积为.故选:B5.记的三个内角、、的对边分别为、、,若,,,则的面积为() A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出的值,再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】因为,,,由余弦定理可得,可得,由三角形的面积公式可得.故选:B.6.为测量山高,选择点和另一座山的山顶为测量点,若点,,在同一水平面上,从点测得的仰角为60°,的仰角为45°,,从点测得.已知山高,则山高为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件,结合三角形中内角和为,利用三角函数和正弦定理,即可求解.【详解】如图所示,在中,∵,,∴,在中,,,∴, 由正弦定理,可得,,在中,,.故选:C7.在正三棱柱中,,,分别是,中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设,取的中点,的中点,的中点,可得异面直线与所成角为或其补角,利用余弦定理即可求解.【详解】设,取的中点,的中点,的中点,易知,,所以异面直线与所成角为或其补角.由正三棱柱的几何特征可得.,,,,, 在中,由余弦定理可得,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:A.8.已知,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件求出,,从而求出,进而利用二倍角的余弦公式求出结论.【详解】因为,所以,又,所以,,所以,所以.故选:C.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.已知向量,,,则()A.B.C.若,∥,则 D.在上的投影向量的坐标为【答案】BCD【解析】【分析】先由,得,从而可求出的坐标,然后逐个分析判断即可.【详解】因为,,,所以,得,所以,,所以A错误,对于B,因为,,所以,因为,所以,所以B正确,对于C,因为,∥,,所以,所以,所以,所以C正确,对于D,因为,,所以在上的投影向量的坐标为,所以D正确,故选:BCD10.已知,为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下述正确的是()A.若,,则B.若,,则C.若,,,则D.若,,,、则【答案】BC【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐项判断即可.【详解】对于A,若,,则与相交、平行或异面,故A错误; 对于B,若,,则,故B正确;对于C,若,,则,若,则,故C正确;对于D,若,则,可能相交,故D错误.故选:BC.11.已知函数,,的最小值为,则()A.B.,都有C.,,则m的最大值为D.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称【答案】AD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数,由已知求出周期判断A;代入验证对称轴判断B;求出函数在区间上的值域判断C;平移求出解析式判断D作答.【详解】依题意,,显然函数的最大值、最小值分别为,因为,则与中一个取2,另一个取,又的最小值为,于是的半周期,即周期,,解得,A正确;于是,而,则直线不是函数图象的对称轴,即,B错误;当时,,,则,因为,,因此,的最大值为2,C错误; 因为函数的图象关于原点对称,所以将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称,D正确.故选:AD12.如图甲,在梯形中,∥,,,,,分别为,的中点,将沿折起(如图乙),使得,则()A.直线∥平面B.三棱锥的体积为C.直线与平面所成角的正弦值为D.若四棱锥的各顶点都在球的球面上,则球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】对于A,取的中点,连接,可证得四边形为平行四边形,则∥,然后由线面平行的判定定理分析判断,对于B,由题意可证得平面,然后利用求解判断,对于C,取的中点,连接,可证得为直线与平面所成角,然后在中求解,对于D,连接交于点,过作直线平面,则外接球的球心在直线上,然后可求出其半径,从而可求出球的表面积.【详解】因在梯形中,∥,,,,所以,四边形为正方形,对于A,取的中点,连接, 因为为的中点,所以∥,,因为为的中点,所以,因为∥,,所以∥,,所以四边形为平行四边形,所以∥,因为平面,平面,所以直线∥平面,所以A正确,对于B,因为,,,平面,所以平面,所以,所以B错误,对于C,取的中点,连接,则∥,因为,,所以,,因为,平面,所以平面,所以为直线与平面所成角,在中,,则,所以,所以C正确,对于D,连接交于点,过作直线平面,因为平面,四边形为正方形,所以四棱锥外接球的球心在直线上,设外接球的半径为,则,所以四棱锥外接球的表面积为,所以D正确,故选:ACD【点睛】 关键点点睛:此题考查线面平行的判断,考查线面角的求法,考查棱锥的外接球问题,解题的关键是将平面图形折成空间图形过程中,弄清线面之间的关系,考查空间想象能力,属于较难题.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若非零向量、满足,,则向量、的夹角为____________.【答案】【解析】【分析】由平面向量的数量积可求出,结合向量夹角的取值范围可得出向量、的夹角.【详解】因为非零向量、满足,,则,即,即,即,所以,,因为,故,即向量、的夹角为.故答案为:.14.在正四棱锥中,,用平行于正四棱锥底面的平面截去一个高为的四棱锥后,所得棱台的体积为____________.【答案】##【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的高,再利用相似比求出截去的高为的四棱锥的底面边长,在求出两个棱锥的体积即可.【详解】如图,为底面四边形对角线的交点,则为正四棱锥的高,,则,设截去的高为的四棱锥的底面边长为,则,解得,所以棱台的体积为. 故答案为:.15.记的三个内角的对边分别为,,,且,,若是的外心,则____________.【答案】【解析】【分析】作于,于,根据向量数量积的几何意义,,即可得到答案.详解】如图:作于,于,∵圆中,,∴,因此,同理可得,∴.故答案为:.16.棱长为的正四面体的各顶点都在球心为的球面上,则过点,,的平面截四面体所得截面图形的面积为____________;球的体积为____________. 【答案】①.②.【解析】【分析】将正四面体放到正方体中,则正方体的外接球即为正四面体的外接球,求出正方体的体对角线即为外接球的直径,即可求出外接球的体积,取的中点,连接、,则即为过点,,的平面截四面体所得截面图形,求出截面面积即可.【详解】如图将棱长为的正四面体放到正方体中,则正方体的外接球即为正四面体的外接球,正方体外接球的球心在体对角线的交点,体对角线即为外接球的直径,设正方体的棱长为,由已知可得,解得,设正方体外接球的半径为,则,即,所以外接球的体积,取的中点,连接、,根据正方体的性质可知即为过点,,的平面截四面体所得截面图形,又,,所以,即过点,,的平面截四面体所得截面图形的面积为.故答案为:;四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,且,.(1)求; (2)求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先根据求出,然后对待求式变形即可得出结论;(2)利用两角差的正弦公式可直接求解.【小问1详解】因为,所以,又因为,所以由,解得,所以.【小问2详解】因为,,所以,又因为,,所以,所以.18.如图,平行六面体的底面是菱形,,且. (1)证明:平面;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)设,,,利用空间向量的数量积证明出,,结合线面垂直的判定定理可证等价结论成立;(2)分析可知平面的一个法向量为,计算出、、的值,利用空间向量法可得出与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明:设,,,则,,,,,因为,所以,因为,所以,又因为,、平面,所以平面.【小问2详解】解:设与平面所成角为,因为平面,则平面的一个法向量为,因为,, ,所以,,所以,即与平面所成角的正弦值为.19.已知,,.(1)求的单调递增区间;(2)若的三个内角,,的对边分别为,,,,,边上的高,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用向量数量积的坐标表示与辅助角公式化简,再利用正弦函数的单调性即可得解;(2)先由求得角,再利用三角形面积公式与余弦定理得到的关系式,从而得解.【小问1详解】因为,由,得所以函数的单调递增区间为【小问2详解】因为,即, 又,则,所以,故,因为,所以,又因为,,所以,所以由,,,得,,,所以.20.如图,在正四梭柱中,已知,三棱锥体积为.(1)求点到平面的距离;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先根据棱锥的体积公式求出正四梭柱的高,以点为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可;(2)利用向量法求解即可.【小问1详解】因为为正四棱柱,,所以平面,,所以, 所以,如图以点为原点,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,设平面的法向量为,则,可取,则点到平面的距离;【小问2详解】因为且,所以为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,同理可证平面,又平面,所以平面平面,所以是平面的法向量,设与平面所成角为,则,所以与平面所成角的正弦值为. 21.的三个内角、、的对边分别为、、,若.(1)求角;(2)若,,,求、.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值,结合角的取值范围可求得角的值;(2)由可得出,利用平面向量数量积的运算性质以及余弦定理可得出关于、的方程组,即可解得、的值.【小问1详解】解:因为,由正弦定理可得,即,即,因为,则,所以,,解得,故.【小问2详解】解:因为,则,可得,所以,,所以,,①由余弦定理可得,② 联立①②可解得.22.如图,四边形与均为菱形,,,,记平面与平面的交线为.(1)证明:;(2)证明:平面平面;(3)记平面与平面夹角为,若正实数,满足,,证明:.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)通过线面平行的性质定理进行转化求解即可;(2)通过图形关系证明,,然后得到线面垂直,再证明面面垂直即可;(3)首先通过几何图形关系得到即为平面与平面的夹角,得到角度后,通过基本不等式或三元均值不等式转化证明即可.【小问1详解】因为为菱形,所以,因为平面,平面,所以平面,又因为平面,平面平面,所以.【小问2详解】连接交于点,连接,因为为菱形,所以,为中点,因为,所以, 又因为平面,,所以平面,因为平面,所以平面平面【小问3详解】因为为菱形,,,所以,,又因为为菱形,所以,因为,,所以,所以,所以,即,又因为,平面,,所以平面,又由(1)知,所以平面,所以即为平面与平面的夹角,在直角中,,所以,所以平面与平面夹角的大小为,因为,所以,两式相加得,,下面证明:①;②;且等号不同时取;法一:基本不等式因为 当且仅当时取等号,所以,同理(当且仅当取等号)所以,即,所以法二:三元均值不等式当且仅当时取等号,所以,同理(当且仅当取等号)所以,即,所以.【点睛】思路点睛:本题考查立体几何与基本不等式的综合问题.立体几何要通过性质定理和判定定理进行图形关系的转化,不等式证明问题需要联系常用的基本不等式,将形式进行转化进而求解.
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高中 - 数学
发布时间:2023-10-08 17:32:02
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