山东省泰安肥城市2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

绝密★启用前试卷类型：A高一数学试题本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.【详解】解：因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限，故选：C.【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.2.下列向量的运算结果不正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：B3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，，则sinB=（　　）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】直接由正弦定理得解.【详解】由正弦定理得.故选：A4.为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可【详解】因为，所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象，故选：B 5.湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（）A.米B.米C.米D.米【答案】D【解析】【分析】根据角度结合三角函数解三角形即可.【详解】因为，所以又可得米.故选：D.6.在中，为边上的中线，点为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】∵在中，为边上的中线，点为的中点，∴，故选:B.7.已知，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.【详解】.故选：A．8.已知，向量绕着点顺时针方向旋转角得到，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作，设点在角终边上，则，然后利用两角差的正弦和余弦公式可求得点的坐标，即可得答案.【详解】作，设点在角的终边上，则，则，，所以， 故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，是方程的两个虚数根，则（）A.的取值范围为B.的共轭复数是C.D.为纯虚数【答案】BCD【解析】【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是，【详解】由，得，A错误；因为原方程根为，所以的共轭复数是，B正确；，C正确；因为等于或，所以为纯虚数，D正确.故选：BCD.10.已知向量，则（）A.当时，B.当时，三点共线C.当时，D.当时，是锐角 【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的模、向量的数量积、向量的共线定理判断即可；【详解】，所以，选项A正确；三点共线，所以选项B正确；，，，选项C正确；当时，三点共线，由B可知，选项D错误；故选：ABC.11.中，分别为内角的对边，则（）A.若，则为等腰直角三角形B.若，则为等腰三角形C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】对于A，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再化简可得答案，对于B，化简后利用正弦定理统一成边的形式，再化简可得答案，对于C，利用余弦定理求解，对于D，利用正弦定理统一成角的形式，化简后可得答案.【详解】对于A，由，得，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以A错误，对于B，由，得，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，所以B正确，对于C，由，得，所以由余弦定理得 ，因为，所以，所以C错误，对于D，因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以D正确，故选：BD12.某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出两点的坐标，利用数量积的坐标表示逐一验证四个选项即可得正确答案.【详解】设，由图知，，解得，所以，假设，则即， ，，，，，对于选项A：，，所以，故选项A正确；对于选项B：，，显然最大值为，所以不一定成立，故选项B错误；对于选项C：，，所以，故选项C正确；对于选项D：，所以，因为，所以，即，所以，故选项D正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，复数，则______.【答案】【解析】【分析】利用复数的概念以及复数的四则运算计算求解.【详解】因为，所以.故答案为：.14.已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______. 【答案】【解析】【分析】根据向量共线求解即可；【详解】因为向量是平面内一组基底，与共线，所以即所以解得：故答案为：.15.已知函数是偶函数，写出满足条件的角的一个取值______.【答案】（只需写出满足的一个值）【解析】【分析】先利用三角函数恒等变换公式变形得，再由其为偶函数得，从而可求得结果【详解】，因为是偶函数，所以，得，故答案为：（只需写出满足的一个值）16.如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值为______. 【答案】【解析】【分析】根据已知，利用图形以及向量的线性运算、数量积运算、二次函数进行计算求解.【详解】因为等边三角形中，，点为的中点，设，则所以当时，取最小值，最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，其中.（1）当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.（2）复数的长度记作，求的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由题意可得，，且，从而可求出，然后利用两角差的正切公式可求得结果，（2）由题意可得，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.【小问1详解】因为当时，表示实数，所以，所以. 又因为当时表示纯虚数，所以，且所以.从而.【小问2详解】因为.当时，，则取得最大值，此时的最大值为.18.已知梯形中，，，三个顶点.（1）求顶点的坐标；（2）求在上的投影向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设顶点，利用即可求解；（2）利用向量的数量积公式求得的夹角为，再利用投影向量公式即可求解.【小问1详解】设顶点，已知三个顶点,所以.因为且，所以，即.所以，解得：.即顶点的坐标为顶点. 【小问2详解】可求得，则设的夹角为，则．设,所以在上的投影向量为或.19.的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若点D在BC边的延长上，且，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式即可求解；（2）利用等面积法知，代入化简得，进而得解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，又，所以化简为.又，所以.因为，所以. 【小问2详解】因为，所以，所以.由（1）可知：，所以所以，，所以.20.在直角坐标系中，以为始边分别作角，，其终边分别与单位圆交于点，．（1）证明：；（2）已知，为锐角，，，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，，根据三角函数的定义、平面向量数量积的定义和坐标表示，结合三角恒等变换计算即可求解；（2）根据题意和同角三角函数关系求出，，结合两角差的余弦公式计算即可求解.【小问1详解】由三角函数的定义知，，，设，，设与的夹角为，则，得，又， 所以，又，得，因此，所以；【小问2详解】由，为锐角，得，由，，得，，所以.21.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足.已知筒车的轴心距离水面的高度为米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）（盛水筒在水面下时，则为负数）.（1）将距离表示成旋转时间的函数；（2）求筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？【答案】（1）， （2）70秒钟【解析】【分析】（1）结合三角函数图像的性质以及点位置坐标判断求解即可；（2）令，求解的范围，计算即可；【小问1详解】由题意可知,由于,所以得.因为时,,所以.由，可求得，从而.所以，其中【小问2详解】当盛水筒位于水面以下时，应满足，即.可列不等式，解得.因为，所以当时，；当时，.由， 可得盛水筒位于水面以下的时间有70秒钟.22.如图在五边形中，，，.（1）求线段的长；（2）设，的面积记为，则有，求的表达式，并求的最大值.【答案】（1）（2），最大值是【解析】【分析】（1）解法一：根据题意可求出，而，两边平方化简可求得结果，解法二：连接，在中利用余弦定理可求得，在中可求得，（2）在中由正弦定理可求得，从而可表示出的面积，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.【小问1详解】解法一：由题意可得与的夹角是，与的夹角是，与的夹角是，又知，所以.因为，所以有， 所以.解法二：连接，在中，，所以.因为，所以，因为，所以，即.在中，.【小问2详解】在中，因为，所以.由正弦定理得，所以，所以， 因为，所以，所以当，即时，