考点26 概率、二项分布与正态分布（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）-(原卷版）

考点26概率、二项分布与正态分布（核心考点讲与练）1.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.3.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.4.古典概型的概率公式P(A)＝.5.全概率公式(1)完备事件组：设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：①A1∪A2∪…∪An＝Ω.②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.(2)全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，Ai＝ S，则对任一事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.6.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：X01…k…nPCp0qnCpqn－1…Cpkqn－k…Cpnq0此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).7.正态分布(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.1.求古典概型概率的基本步骤： (1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．2.求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．3.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))①X的取值为0，1，2，…，n；②P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．[提醒]　在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．　4.超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．　5.正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.　(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．概率1.（2021重庆市九龙坡区高三上学期期中）有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（） A.B.C.D.2.（2021重庆市第一中学高三下学期第二次月考）我国占代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次是一个等差数列．已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为（）A．B．C．D．3.（2021新疆乌鲁木齐市第八中学高三检测）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________．4.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=____;PB)=____.二项分布1.（多选）（2022年高考数学一轮复习）若随机变量服从参数为，的二项分布，则（）A．B．C．D．2．设X为随机变量，，若随机变量的期望为，则______.3.已知，且，求Y的分布列．超几何分布 1.（2021江苏省镇江中学高三检测）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则等于（）A.B.C.D.2.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（）A.B.C.D.3.（2021辽宁省锦州市第二高级中学高三检测）学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求________．正态分布1.（多选）（2021广东省普宁市华侨中学高三上学期期中）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）附：若随机变量X服从正态分布，则.A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.15872.（2021广西桂林普通高中高三检测）已知随机变量服从正态分布，若，则__________． 1.（2021年全国高考乙卷数学）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A.B.C.D.2．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（       ）A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等3．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（       ）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立4.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.5.（2017全国高考真题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.一、单选题1．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））中国习俗讲究“十全十美､红红火火”.某次元宵节游园会中有这么一个活动：一个不透明的箱子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中有5个红球，10个黑球，每次随机取出一球（取出后不放回），取出的第10 个球为红球则获得小礼品一份，每人只能参与该游戏一次.则小明参与该游戏获奖的概率为（       ）A．B．C．D．2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形（其中两块小型三角形､一块中型三角形和两块大型三角形）､一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物､动物､植物､房亭､楼阁等1600种以上图案.现从七巧板的五块三角形中任意取出两块，则两块板恰好是全等三角形的概率为（       ）A．B．C．D．3．（2022·辽宁·二模）在北京时间2022年2月6日举行的女足亚洲杯决赛中，中国女足面对上半场0-2落后的劣势，发扬永不言弃的拼搏精神，最终强势逆转，时隔16年再夺亚洲杯冠军！足球比赛中点球射门是队员练习的必修课．己知某足球队员在进行点球射门时命中率为，由于惯用脚的原因，他踢向球门左侧的概率为，踢向球门右侧的概率为．经统计，当他踢向球门左侧时，球进的概率为，那么他踢向球门右侧时，球进的概率为(       )A．B．C．D．4．（2022·江苏·南京市第一中学三模）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则（       ）A．B．C．D．二、多选题5．（2022·广东·三模）一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（       ） A．至少有一个零件发生故障的概率为0.8B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大6．（2022·江苏南京·三模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（       ）A．事件B与事件C互斥B．C．事件A与事件B独立D．记C的对立事件为，则7．（2022·全国·模拟预测）下列命题正确的是（       ）A．若事件A与B相互独立，且，，则B．设随机变量X服从正态分布，则C．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好8．（2022·全国·模拟预测）下列说法正确的是（       ） A．频率分布直方图中最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值B．已知一组数据的方差为5，则这组数据的每个数都加上3后方差为8C．若随机变量服从二项分布，则D．已知随机变量服从正态分布，若，则9．（2021·海南·模拟预测）设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，下列判断正确的是（       ）A．B．C．存在，满足D．存在，满足10．（2021·河北唐山·三模）下列说法正确的是（       ）A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，，则游戏者闯关成功的概率为B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C．已知随机变量X的分布列为，则D．若随机变量，且.则，11．（2021·江苏江苏·二模）某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：单位：人性别身高合计低于170不低于170女801696男2084104合计100100200下列说法正确的有（       ）附1：(其中).临界值表： 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附2：若，则随机变量X取值落在区间上的概率约为68.3%.A．从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得B．从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生C．有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联D．若该样本中男生身高(单位：)服从正态分布，则该样本中身高在区间内的男生超过30人三、填空题12．（2022·福建莆田·三模）五一期间，某个家庭（一共四个大人，三个小孩）一起去旅游，在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是_______．13．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）A､B两辆货车计划于同一时刻达到某一港口.已知在货车B准点的情况下，货车A晚点的概率为；而在货车A晚点的情况下，货车B准点的概率为.若货车A､B准点的概率相同，且货车到达该港口只有准点与晚点两种情况，则货车B晚点的概率为___________.14．（2022·江苏江苏·三模）抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布.假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数.若的数学期望，则的最大值是___________.四、双空题15．（2022·江苏南京·三模）19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若,，则k的值为__________． 16．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）林锋家所在小区原本是开放式小区，停车难问题一直困扰着该小区居民.今年当地政府积极进行老小区改造，通过竭力协调将闲置的空间改造成了绿色车位，受到居民的广泛称赞，如今林锋家楼下原本堆满废墟的地方已经改造成了7个绿色车位.某天中午林锋家来了四位客人，这四位客人各自驾驶一辆车，其中三辆黑色，一辆白色.此时这7个车位恰好均未使用，于是这四辆车随机规范停入这7个车位.则恰好三辆黑色车相邻停放的概率为___________；记剩余的3个空车位中相邻的车位数最大者为（若3个空车位均相邻则，若3个空车位有且仅有两个相邻则，若3个空车位均不相邻则），则的数学期望为___________.17．（2022·安徽安庆·二模（理））立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段内抽取学生，并确定m＝67，且.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示.若该班抽取学生分数在分数段内的人数为k，则k等于______；这k名学生的人均分为______.（附：，，）五、解答题18．（2022·四川南充·三模（文））某企业主管部门为了解企业某产品年营销费用x（单位：万元）对年销售量）（单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用和年销售量做了初步处理，得到的散点图及一些统计量的值如下：15052518001200 根据散点图判断，发现年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）之间可以用进行回归分析．(1)求y关于x的回归方程；(2)从该产品的流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．如果企业今年计划投入的营销费用为80万元，请你预报今年企业该产品的销售总量和年总收益．附：①收益＝销售利润－营销费用；②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19．（2022·河南商丘·三模（文））大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一．某校组织全校学生进行了立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，成绩（单位：米）均在内，整理数据得到如下频率分布直方图．学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则不达标．(1)若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练．请你通过计算，判断该校男生是否还需加强立定跳远训练；(2)从该校随机抽取的100名立定跳远成绩在和内的男生中，用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人来自不同区间的概率．20．（2022·北京·模拟预测）2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献．2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京188112186 4黑龙江1491011955新疆133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陕西79477610山西7839100(1)从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；(2)从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望；(3)记表格中2020-2021，2019-2020两组数据的方差分别为与，试判断和的大小．结论不要求证明21．（2022·北京·二模）2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率； (3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小.（结论不需要证明）