第二章　§2.11　函数的零点与方程的解

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§2.11　函数的零点与方程的解考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　×　)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(　√　)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　A解析　由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．2．函数y＝－lnx的零点所在区间是(　　)A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)答案　B解析　因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减；y＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－lnx为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x＝2时，y＝－ln2>0；当x＝3时，y＝1－ln3<0，两函数值异号，所以函数y＝－lnx的零点所在区间是(2,3)．3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期题型一　函数零点所在区间的判定例1　(1)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是(　　)A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)答案　B解析　由题意得，f(x)＝lnx＋2x－6，在定义域内单调递增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究　用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)A．2B．3C．4D．5答案　C解析　∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，解得n≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　)A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2D．x2<x3<x1答案　A解析　设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f(－1)＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x1<0.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期即gg(1)<0，由函数零点存在定理可知，<x2<1，设函数h(x)＝x－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0，因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3.思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1　(1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案　AD解析　f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案　A解析　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．题型二　函数零点个数的判定例2　(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　)A．5B．4C．3D．2答案　D解析　在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为(　　)A．404B．405C．406D．203答案　C解析　因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2023]上有406个根．思维升华　求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2　(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)A．3B．7C．5D．6答案　B解析　根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝.作出f(x)的简图如图所示，由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，分别有3个和4个交点，故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为7.(2)函数f(x)＝·cosx的零点个数为______．答案　6解析　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－6,6]，∴x的取值为－，－，，.故f(x)共有6个零点．题型三　函数零点的应用命题点1　根据零点个数求参数例3　(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　)A．(2－6,0)B．(2－6,0)C．(－2,0)D．(2－6,0)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　D解析　作出函数f(x)＝的图象，如图所示，设与y＝4－x2相切的直线为l，且切点为P(x0,4－x)，因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，则切线方程为y－4＋x＝－2x0(x－x0)，因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，代入切线方程求得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)，所以切线的斜率为k＝2－6，因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，由图象知，实数k的取值范围为(2－6,0)．命题点2　根据函数零点的范围求参数例4　(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C．(－∞，0)D.答案　B解析　由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝，又g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.思维升华　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)A．0<a<3B．1<a<3C．1<a<2D．a≥2答案　A解析　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内得，f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为(　　)A．(－1,0)B.C.D.∪{－1}答案　B解析　设h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝，令h′(x)>0，得0<x<e，令h′(x)<0，得x>e，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以h(x)max＝h(e)＝.因为函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，所以方程f(x)＝a有3个解．作出函数y＝f(x)和y＝a的图象如图所示，所以a的取值范围为.课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)A．(－4，－2)B．(－2，－1)C．(1,2)D．(2,4)答案　B解析　易知f(x)在R上单调递增且连续，f(－2)＝－<0，f(－1)＝－>0，所以x0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)A．(0,0.5)，f(0.125)B．(0,0.5)，f(0.375)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.25)答案　D解析　因为f(0)f(0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算f ，即f(0.25)．3．函数f(x)＝的零点个数为(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　)A．f(x)＝2x＋xB．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝＋1D．f(x)＝|log2x|－1答案　BCD解析　选项A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．答案　1成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________．答案　f(x)＝x2－1(答案不唯一)解析　因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一)．11．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案　(1，＋∞)解析　方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距．由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．故实数a的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝________.答案　解析　y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.因为1－＝－1，所以＋＝2，故＝.13．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案　A解析　令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a<2，即－2<a<－1.14．已知函数f(x)＝－sinx－1，x∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f(x)的所有零点之和为________．答案　0解析　因为函数f(x)＝－sinx－1＝－sinx，所以f(x)的对称中心是(0,0)，令f(x)＝0，得＝sinx，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期在同一平面直角坐标系中作出函数y＝，y＝sinx的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f(x)有8个零点，由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，若关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为(　　)A.B.C.D．(0，e－1)答案　B解析　∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)关于直线x＝1对称，又f(x)为定义在R上的偶函数，∴函数f(x)关于直线x＝0对称，作出函数y＝f(x)与直线y＝m(x＋1)的图象，如图所示，要使关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝m(x＋1)有5个交点，∴即<m<.16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________．答案　解析　由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点．由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.令h(x)＝，则h′(x)＝＝，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>，要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需a∈.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期