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湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高三数学上学期开学考试试题(Word版附解析)
湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高三数学上学期开学考试试题(Word版附解析)
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2023年湖北省高三9月起点考试高三数学试卷考试时间:2023年9月5日下午15:00—17:00试卷满分:150分注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数z满足,则z的虚部为()A.B.C.D.2.已知集合,集合,则集合的元素个数为()A.1B.2C.3D.43.设等差数列的前n项的和为,满足,,则的最大值为()A.14B.16C.18D.204.已知的所有项的系数和为3,则的系数为()A.80B.40C.D.5.已知圆O的直径,动点M满足,则点M的轨迹与圆O的相交弦长为()A.B.C.D.6.设函数,则函数的零点个数为()A.4B.5C.6D.77.已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛,其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻,则不同的演讲顺序的种数为()A.40B.36C.56D.48 8.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A.B.C.D.二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,选对但不全得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.若直线与直线平行,则或B.数据1、5、8、2、7、3的第60%分位数为5C.设随机变量X~,则最大时,D.在中,若,则为等腰三角形10.已知函数,则()A.点为的一个对称中心B.函数在区间上单调递增C.函数在区间上的值域为D.若函数在区间上只有一条对称轴和一个对称中心,则11.在边长为2的正方体中,点M,N,P分别为AB,,的中点,则()A.平面B.点B到平面PMN的距离为C.、DA、CM相交于一点D.平面PMN与正方体的截面的周长为12.已知双曲线的左右顶点为,,左右焦点为,,直线l与双曲线的左右两支分别交于P,Q两点,则()A.若,则的面积为B.存在弦PQ的中点为,此时直线l的方程为 C.若的斜率的范围为,则的斜率的范围为D.直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M,N两点,则三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.13.若向量,,且,则与的夹角为______.14.一家物流公司计划建立仓库储存货物,经过市场了解到下列信息:每月的土地占地费(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费(单位:万元)与x成正比.若在距离车站10km处建立仓库,则与分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小时______(单位:km).15.已知直线是曲线与抛物线的公切线,则______.16.在中,,,将绕着边BC逆时针旋转后得到,则三棱锥的外接球的表面积为______.四、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列的首项,满足.(1)求证:数列为等比数列;(2)记数列的前n项的和为Tn,求满足条件的最大正整数n.18.(12分)已知a,b,c为的三个内角A,B,C的对边,且满足:(1)求角A;(2)若的外接圆半径为,求的周长的最大值.19.(12分)如图所示,在三棱柱中,侧面ABCD是边长为2的菱形,;侧面ABEF为矩形,,且平面平面ABEF. (1)求证:;(2)设M是线段上的动点,试确定点M的位置,使二面角的余弦值为.20.(12分)为了研究吸烟是否与患肺癌有关,某研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了100人,得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示:吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者251035吸烟者155065合计4060100(1)依据小概率的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险;(2)从这100人中采用分层抽样,按照是否患肺癌抽取5人,再从这5人中随机抽2人,记这2人中不患肺癌的人数为X,求X的分布列和均值;(3)某药厂研制出一种新药,声称对治疗肺癌的有效率为90%.现随机选择了10名肺癌患者,经过使用药物治疗后,治愈的人数不超过7人.请问你是否怀疑该药厂的宣传,请说明理由.参考公式和数据:(1),其中;且.(2);概率低于0.08的事件称为小概率事件,一般认为在一次试验中是几乎不发生的.21.(12分)已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若函数在其定义域内恒成立,求a的范围.22.(12分)已知椭圆的离心率,且经过点.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线与椭圆E交于A,B两点,且椭圆E上存在点M,使得四边形OAMB为平行四边形.试探 究:四边形OAMB的面积是否为定值?若是定值,求出四边形OAMB的面积;若不是定值,请说明理由.2023年湖北省高三9月起点考试高三数学答案题号123456789101112答案CBBDACDABCACACDACD填空题:13.14.515.16.1.由于,则的虚部为,故选C。2.由于集合或,集合,从而,故元素个数为2,故选B。3.设的首项为,公差为d,则,又,,则,从而数列得前4项为正,其余项为负,故的最大值为,故选B。4.由已知可得:,所以则的系数为,故选D。5.明显,圆O的半径为2,其方程为:①可设,,动点由,从而有化简得:②由可得相交弦的方程为:带入式①可求出,故相交弦长为,故选A。 6.令,则亦有,可求出或0或e从而有或1或,从而相应方程的根的个数分别为1或3或2,故函数的零点个数为6,故选C。7.设这5个人分别为:ABCDE,则要求B与C和D与E的演讲顺序都不能相邻。第一类:A在BC中间,此时再把D与E插空到这3人中间,此时的不同的演讲顺序有第二类:A不在BC中间,此时先考虑B与C和D与E,他们的顺序应相间排列,最后考虑A,此时的不同的演讲顺序有综上可得:总共有48种不同的演讲顺序,故选D。8.对于a,由,则,故;对于b,,故;对于c,由于,则,从而可得同理,,则,从而可得所以有综上有:故选A。9.对于A,由两直线平行可得:或又时,两直线重合,舍去:经检验符合题意,故A错误。对于B,这6个数据按从小到大排序为:123578,由,则这组数据第60%分位数为第4个数,即为5,故B正确。对于C,由,从而时最大,故C正确。对于D,由,可得,,又、,则有或,或,故为等腰三角形或直角三角形,故D不正确。10.明显 对于A明显成立,故A正确对于B令,由则,明显:即时递减,故B不正确对于C由,及则,则在区间上的值域为,故C正确对于D由,及,则由题意可知:从而得:,故D不正确11.对于A明显有又平面,生平面从而平面成立,故A正确对于B由等体积法:,明显有:的面积为,点P到的距离为,又在中,,,可求出的面积为,从而可得:,故B不正确对于C由于,则,CM相交于一点G,从而有平面ABCD,平面则可得平面平面,即所以有,DA,CM相交于一点G,故C正确对于D平面PMN与正方体的截面为边长为正六边形PNMEFH,(点E,F,H分别为BC,,的中点)则其周长为,故D正确 12.在双曲线中,,,且,,,对于A设,,由双曲线定义得:,两边平方可得:①在中,由余弦定理可得:②联立①②可得:故的面积为,故A正确对于B由中点弦公式:,此时直线l的方程为带入双曲线的方程消去y可得:,此时,此时直线与双曲线无公共点,说明此时直线不存在,故B不正确对于C设,则又直线与的斜率的乘积由于从而可得:,故C正确对于D设直线带入(说明:时(※)式表示双曲线;时(※)式表示双曲线的两条渐近线)得,应满足:,且且明显有:(与无关)这说明线段PQ的中点与线段MN的中点重合,故有成立,故D正确。13.由于,从而, 则,又,则与的夹角的余弦值为,则与的夹角为。14.由已知可设:,,且这两个函数分别过,,得,,从而,,故,即时等号成立。15.先考虑与相切,设切点的横坐标为,由,则,由相切的性质可得:①及②由②知:带入①可求出:,从而有再考虑与相切联立方程,消去y,可得:(舍去)。16.如图所示,取BC的中点E,连接AE,DE,则明显有,由于与的外心G与F分别在AE与DE上,则三棱锥的外接球的球心O在过点G且与平面ABC垂直的直线上。由对称性可知:,易求出,设,则在中,有,则,,又在中,,从而在中,, 所以三棱锥的外接球的表面积.17.解:(1)由于,,即…(3分)又,所以数列是首项为,公比为的等比数列…(5分)②由(1)可知:…(6分)则,且关于n是递增的…(8分)又,,所以满足条件的最大正整数…(10分)18.解:(1)由已知可得:…(2分)由于,则有…(4分)又,则有,所以有…(6分)(2)由正弦定理可知:,则由…(7分)又有余弦定理可知:…(8分)由于,则有,即…(9分)又,即从而(当等号成立)…(11分)则,故的周长的最大值为6…(12分)19.(1)证明:连接AC,在矩形ABEF中,明显有: 又平面平面ABEF,平面平面从而可得:平面ABCD,又平面ABCD,从而可得:…(3分)又在菱形ABCD中且则平面ACF又平面ACF则…(5分)(2)如图,建立空间直角坐标系,设,且,,则,…(7分)设是平面MBC的一个法向量,由及故可取…(9分)又明显,平面BCD的一个法向量为…(10分)由已知有…(11分)所以点M为AF的中点,使二面角的余弦值为…(12分)20.解:(1)零假设为:吸烟与患肺癌之间无关.…(1分)根据列联表中的数据,计算可得:…(3分)依据小概率的独立性检验,认为不成立,即吸烟会增加患肺癌的风险…(4分)(2)由已知可得:抽取的5人中,不患肺癌的有2人,患肺癌的有3人。明显:X的所有可能取值为:0,1,2,…(5分)且,, 故X的分布列为:X012P…(7分)X的均值为…(8分)(3)随机选取10个病人,治愈人数不超过于7人的概率为:从而该事件称为小概率事件,一般认为在一次试验中是几乎不发生的,所以可以怀疑该药厂是虚假宣传…(12分)21.(1)…(1分)当时,恒成立,此时的递减区间是,无递增区间…(2分)当时,考虑,明显,且,则有一正一负两个根,取正跟且当时,当时,此时的递减区间是,递增区间为…(4分)综上可得:当时,的递减区间是,无递增区间;当时,的递减区间是,递增区间为…(5分)(2)当时,在递减,且不符合题意…(6分)当时,由(1)可知:只需…(7分)又由于…(8分)则只需…(9分) 考虑,明显:在递减且,从而可得:…(10分)考虑,由及(1)可知:有一正一负两个根又,要使成立,则必有综上所述:使函数在其定义域内恒成立的a的范围为…(12分)(其他解法可酌情给分)22.(1)由已知可得:,,可得:,,椭圆E的方程为…(4分)(2)四边形OAMB的面积为定值,理由如下:将带入可得:设,则,且…(6分)由于四边形OAMB为平行四边形,则,则点,带入椭圆E的方程,化简可得:…(8分)此时恒成立由于点O到直线AB的距离为而又由可得…(10分) 从而又
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高中 - 数学
发布时间:2023-09-26 05:15:01
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