山东省2023届高考数学考向核心卷试题（Word版附解析）

2023届高考数学考向核心卷新高考一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将集合、化简，再根据并集的运算求解即可.【详解】∵集合，集合，∴．故选：D.2.若复数z满足，则复数z的虚部为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算得到z的代数形式，再利用复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，所以，则复数的虚部为．故选：．3.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合向量平行坐标表示判断即可.【详解】若，则，所以； 若，则，解得，得不出.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.4.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有和正常工作的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有和正常工作的概率，在利用条件概率公式求解即可.【详解】设事件为系统正常工作，事件为只有和正常工作，因为并联元件、能正常工作的概率为，所以，又因为，所以，故选：C5.已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（）A.2007B.2008C.2009D.2010【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列首项和性质,结合可判断出,.结合等差数列的前n项和公式,即可判断的最大项.【详解】数列为等差数列,若所以与异号首项,则公差所以则,所以由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得所以的最大值为,即故选:B【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.6.已知函数的部分图象如图所示,A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据图像得到，然后根据图像得到周期，由，得到的值，然后代入点得到，根据的范围，确定其值，从而得到函数解析式，代入，得到答案.【详解】根据图像可得，，所以，而，所以代入点，得到即，所以，即因为所以所以代入得，故选B项.【点睛】本题考查利用三角函数的图像求正弦型函数的解析式，求正弦型函数的函数值，属于简单题.7.若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）．A.或B.或C.D. 【答案】A【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为正实数、满足，则，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选：A.8.记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析可知函数的两个零点均为负数或两个零点都在内，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】设，， 则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，当时，，若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，此时，则，与题意矛盾，故函数在上无零点.二次函数图象的对称轴为直线，若，当，解得时，设函数的两个零点为、，则，则，，函数有两个负零点，符合题意；若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，解得，综上，．故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）A.所有不同分派方案共种B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种D.若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种【答案】BCD【解析】 【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；选项B：若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,则不同分派方案共（种）.判断正确.故选：BCD10.已知是的导函数，且，则（）A.B.C.的图象在处的切线的斜率为0D.在上的最小值为1【答案】BC【解析】【分析】由题意，利用方程思想，求导赋值，建立方程，求得的值，可得函数与导函数解析式，对于A、B，直接代值，可得答案；对于C，利用导数的几何意义，可得答案；对于D，根据导数与单调性关系，可得答案.【详解】∵，∴，令，则，故B正确；则，，，故A错误；的图象在处的切线的斜率为，故C正确； ，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在上的最小值为，故D错误．故选：BC．11.如图1，在菱形ABCD中，，，将沿AC折起，使点B到达点P的位置，形成三棱锥，如图2.在翻折的过程中，下列结论正确的是（）A.B.三棱锥体积的最大值为3C.存在某个位置，使D.若平面平面ACD，则直线AD与平面PCD所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】【分析】由三棱锥的几何性质，根据线面垂直判定定理可证明，得出A正确；由于三棱锥在翻折的过程中底面积为定值，所以高最大时其体积最大，此时平面平面ACD，经计算可知B错误；在翻折的过程中，当三棱锥形成正四面体时，满足，可得C正确；若平面平面ACD，此时三棱锥的体积最大，根据等体积法可求得点A到平面PCD的距离，即可计算出直线AD与平面PCD所成角的正弦值.详解】如下图所示： 选项A：取AC的中点O，连接OP，OD，由于四边形ABCD为菱形，则，，又，平面POD，平面POD，所以平面POD，又平面POD，所以，A正确；（点拨：要证线线垂直，往往需要先证线面垂直）选项B：在翻折过程中，当平面平面ACD时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的体积，B错误；选项C：将△ABC沿AC翻折的过程中，PC的轨迹是以AC为轴的圆锥，显然此圆锥轴截面的顶角为，大于，所以必然存在两条母线互相垂直，翻折前，，故存在某个位置，使直线AD与直线PC垂直，C正确；（另解：当时，易知，都是边长为2的等边三角形，取PC的中点M，连接AM，DM，则，，又平面ADM，平面ADM，且，所以平面ADM，又平面ADM，所以，C正确）选项D：当平面平ACD时，因为，所以，所以，所以的面积，设直线AD与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为d，则，即，解得，故，D正确.故选：ACD.12.已知点，，，抛物线．过点的直线与交于，两点，直线分别与交于另一点，则下列说法中正确的是（） A.B.直线的斜率为C.若的面积为（为坐标原点），则与的夹角为D.若为抛物线上位于轴上方的一点，，则当取最大值时，的面积为2【答案】ACD【解析】【分析】A选项：，直线的方程为，由直线过点得即可解决；B选项：设，得直线的方程为直线过点得，同理即可解决；C选项：得，设，，又得即可；D选项：过作垂直抛物线的准线于点，由抛物线定义得直线与抛物线相切时，最大，设直线.得即可.【详解】A选项：易知，，所以直线的方程为，（利用两点式求解直线的方程）因为直线过点，所以，A正确．B选项：设，，所以直线的方程为， 因为直线过点，所以，同理可得，所以，故B错误．C选项：，（利用B选项中）设，则，因为，所以，所以与的夹角为，故C正确．D选项：易知为抛物线的焦点，过作垂直抛物线的准线于点，如图由抛物线的定义知，，即，当取最大值时，取最小值，（正弦函数的单调性的应用）即直线与抛物线相切．设直线的方程为，由得，所以，解得， 此时，即，所以，又点在轴上方，故，所以，故D正确．故选：ACD【点睛】思路点睛：直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．判断方法：把直线方程和抛物线方程联立，当得到的是一元二次方程时，根据来判断直线与抛物线的位置关系，①若，则直线与抛物线相交；②若，则直线与抛物线相切；③若，则直线与抛物线相离．当得到的是一元一次方程时，直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行（或重合）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点，解出，即可求得切线方程.【详解】解：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线的斜率，则的方程为，又点在切线上，所以解得，所以切线方程为：，即.故答案为：.14.已知，则________.（用数字作案）【答案】34【解析】【分析】利用赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】令，得； 令，得.二项式的通项公式为，又，，所以.故答案为：3415.已知函数，若对任意实数，恒有，则____．【答案】【解析】【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到．【详解】对任意实数，恒有则 即，【点睛】本题的关键在于“变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式．16.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为___________.【答案】【解析】【分析】连接MA，由题意知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，然后设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，利用几何体的结构特征分析出当O与重合时，三棱锥的外接球的表面积最小，然后设CM的中点为N，连接，利用三角形相似求得，即可求得CM的长.【详解】连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小.设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点.当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，.当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以. 故答案为：【点睛】关键点睛：利用直角三角形中斜边最长判断出当O与重合时，三棱锥的外接球的表面积最小是解题的关键所在.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前项和为，且.（1）求与；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式、求和；（2）由（1）得，用错位相减法求和．【详解】（1）由，得，当时，，得；当时，，得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.所以.（2）由（1）可得， 则，，两式相减得，所以.【点睛】（1）错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，求解的方法是等式两边乘等比数列的公比再错位相减，错位相减后化归为一个等比数列的求和；（2）用错位相减法求和时，应注意两点：一是要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；二是在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式.18.在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．已知中，内角所对的边分别为，且________．（1）求的值;（2）若，求的周长与面积．【答案】（1）（2）周长为11，面积为【解析】【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若选③，由余弦的二倍角公式代入化简求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值； （2）由，求出，由正弦定理求出，最后根据三角形的面积公式和周长即可得出答案.【小问1详解】若选①:由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，则，则，故．若选②:由，化简得，代入中，整理得，即，因为，所以，所以，则，故．若选③:因为，所以，即，则．因为，所以，则，故．【小问2详解】因为，且， 所以．由（1）得，则，由正弦定理得，则．故的周长为，的面积为．19.由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．非常喜欢喜欢合计A3015Bxy合计已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．附：，，0．050．0100．0013．8416．63510．828 【答案】（1）从A地抽取6人，从B地抽取7人.（2）没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.（3）分布列见解析，期望为2.【解析】【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.【小问1详解】由题意得，解得，所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．【小问2详解】完成表格如下：非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100零假设为：观众喜爱程度与所在地区无关.，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．【小问3详解】从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，则， ，，．所以X的分布列为X0123P方法1：．方法2：.20.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.小问1详解】在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；【小问2详解】取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点， 则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.21.已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.（1）求的面积；（2）若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值.·【解析】【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.【小问1详解】 依题意可知，，则，，又，所以，解得（舍去），又，所以，则，所以的面积.【小问2详解】由（1）可，解得，所以双曲线C的方程为，设，则，则，，设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根与系数的关系得，所以，，则，故为定值.· 22.已知函数，．（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）是的极大值点，无极小值点（2）【解析】【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.【小问1详解】由已知可得，函数的定义域为，且，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以是的极大值点，无极小值点．【小问2详解】解法一：设，，则，令，，则对任意恒成立，所以在上单调递减．又，，所以，使得，即，则，即．因此，当时，，即，则单调递增； 当时，，即，则单调递减，故，解得，所以当时，恒成立．解法二：令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即．因为，所以，当时等号成立，即，当时等号成立，所以的最小值为1．若恒成立，则，所以当时，恒成立．