浙江省名校协作体2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附答案）

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则（）A.B.C.D.2.已知向量，，，则实数k的值为（）A.B.C.D.13.已知异面直线a，b分别为平面，的垂线，直线m满足，，，，则（）A.与相交，且交线与m平行B.与相交，且交线与m垂直C.与平行，m与平行D.与平行，m与垂直4.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在时的值域为（）A.B.C.D.6.二战期间，盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数为N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为， ，…，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的.因为生产的坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，，…，相当于从中随机抽取的n个整数，这n个数将区间分成个小区间.由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的，由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到N的估计.若缴获坦克的编号为14，28，57，92，141，173，224，288，则利用上述方法估计的总数为（）A.306B.315C.324D.3337.已知，，，则x，y，z的大小关系为（）A.B.C.D.8.已知，，则的最小值为（）A.B.C.D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为（）A.B.C.D.10.下列命题中正确的是（）A.某校按的比例对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层随机抽样，如果抽取的样本容量为900，则样本中高一年级的学生人数为300B.一组数据12，13，14，14，15，16的平均数与众数相同C.一组数据从小到大依次为1，2，3，5，m，若这组数据的极差为中位数的2倍，则D.若甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，10，则甲组数据的标准差大于乙组数据的标准差11.函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则有（）A.一定是周期函数B.在单调递增 C.D.12.如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的一个动点，则（）A.对任意点P，都有B.存在点P，使得的周长为3C.存在点P，使得PC与所成的角为D.三棱锥的外接球表面积的最小值为非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13.已知圆锥的高为2，体积为，则该圆锥的侧面积为______.14.已知锐角终边上一点P的坐标为，则______.15.已知函数，若函数有两个零点，，且，则的取值范围为______.16.定义向量，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数n，都有成立，则x的最小值是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）某校为了调查学生的数学学习情况，在某次数学测试后，抽取了100位同学的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图，已知这100名同学的成绩范围是，数据分组为，，，，. （Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）估计这100名同学成绩的上四分位数（第75百分位数）.18.（本小题满分12分）已知复数z满足（i是虚数单位）（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.19.（本小题满分12分）如图所示，M是内一点，且满足，BM的延长线与AC的交点为N.（Ⅰ）设，，请用，表示；（Ⅱ）设，求的值.20.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若的外接圆半径为1，且，，求BC边上的中线长.21.（本小题满分12分）如图所示，在四棱台中，四边形ABCD为菱形，，，. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数，，且满足.（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证函数存在唯一零点；（Ⅲ）设，证明.2023学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3.A4.C5.D6.C7.C8.B二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9.ABC10.BC11.AC12.AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13.14.15.16.四、解答题：17.解：（Ⅰ）由得…………………………4分（Ⅱ）由，设这100名学生成绩的第75百分位数为m，则. 由得.所以这100名学生成绩的第75百分位数为85.…………………………10分18.解：（Ⅰ）由得…………………………5分（Ⅱ）由于.由得，故实数m的取值范围为.…………………………12分19.（Ⅰ）解：∵，则，解得，即…………………………6分（Ⅱ）过M作交AB于P，过M作交AB于Q，则，因为，则，所以，即…………………………12分20.解：（Ⅰ）由解得：，故函数的单调递增区间为.…………………………6分 （Ⅱ）∵，∴，又，∴，又∴，，，∴，，设D为BC中点，则∴，即BC边上的中线长…………………………12分21.解：（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接，BE，由于四边形ABCD为菱形，，所以，又，，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面，故；…………………………4分（Ⅱ）不妨设，则由平面，知直线与平面ABCD所成的角，即在中，，，得，故，，即，所以平面. 又平面得所以，则.过E作与BD交于点F，连接，则为二面角的平面角.因为，，所以.即二面角的余弦值为…………………………12分22.（1），所以；…………………………3分（Ⅱ）在单调递增，且，，所以由零点存在定理，得在内有唯一零点，即函数存在唯一零点；……………………6分（Ⅲ）证明：若，则，所以，又，，所以，令， 又，所以在上单调递增，所，即，所以…………………………12分