四川省宜宾市叙州区第一中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

叙州区一中2023年秋期高二开学考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）A.18B.20C.22D.24【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样，可计算出抽取容量为60的样本时各层所抽取的人数．【详解】根据分层抽样，抽取容量为60的样本时，应从高二年级抽取的学生人数为（人．故选：．2.设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（）①若，，则或②若，，则③若，，则④若，，，，则A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的性质，线面垂直的性质，面面平行判定这，面面垂直的性质分别判断各命题．【详解】一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线在另一平面内或与另一平面平行，①正确；垂直于同一平面的两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，②正确；垂直于同一直线的两个平面平行，即两个平面的法向量相同，显然它们平行，③正确；两个平面垂直，一个平面内与交线垂直的直线必与另一平面垂直，这是面面垂直的性质定理，④正确． 故选：D．3.在中，，则（）A.或B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，再由余弦定理求出，根据三角形内角和可得答案.【详解】由余弦定理得，所以，得，得或，当时，，因为，所以，，当时，，因为，所以，，所以或.故选：C4设，则等于（）A.-2B.2C.-4D.4【答案】C【解析】【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为，所以， 故，故选：C．5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平移变换的特征求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位，得，因为函数为偶函数，所以，则，故选项中的一个可能取值为.故选：B.6.长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是，体对角线长为，则这个长方体的表面积为（）A.12B.22C.32D.44【答案】B【解析】【分析】设棱长为，然后根据对角线长为可求出，然后可得答案.【详解】因为长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是所以可设棱长为所以其体对角线长为，解得所以这个长方体的表面积为 故选：B7.已知，在方向上的投影为，则的值为（）A.B.C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】根据投影和数量积的关系可求的值.【详解】，故选：B.8.在平行四边形中，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量加减运算法则得到，，两式平方相加求出答案.【详解】因为，，，，所以，又，因为，，两式相加得，.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（）A.的共轭复数为B.的虚部为 C.D.在复平面内对应的点在第四象限【答案】AD【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据共轭复数的定义判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】因为，所以的共轭复数为，故A正确；复数的虚部为，故B错误；，故C错误；复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确；故选：AD10.为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（）A.B.该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75C.估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时D.估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为 【答案】AC【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出样本的数字特征，根据样本数字特征即可估计总体数字特征.根据各小矩形面积之和等于1，即可解出a的值；中位数是小矩形面积之和累计为0.5的值；分别求出活动时间超过一小时的男生和女生，即可判断；分别求出活动时间不低于80分钟的男生和女生，即可判断.【详解】A：由已知得，10a+10×0.020+10×0.035+10×0.020+10a+10×0.005=1，解得，；B：，前两个小矩形面积之和为0.3，即中位数在内，设为m，则有，解得，该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为65.7；C：根据频率分布直方图可得，男生中每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为10×(0.035+0.020+0.010+0.005)=0.700，人数为；女生中每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为10×(0.030+0.010+0.005)=0.450，人数为.则可得，学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为，所以该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时；D：根据频率分布直方图可得，男生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为10×(0.010+0.005)=0.15，人数为；女生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为10×0.005=0.050，人数为，所以每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为，所以该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为9:2.故选：AC.11.在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）A.若，则B.若，则B的取值范围是C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判断A；由角形为锐角三角形，，所以，即有，根据 可得的范围，从而判断B；由，可得，进而得，从而判断C；由，可得，从而判断D.【详解】解：对于选项A，因为A>B，所以有,所以，故正确；对于选项B，因为，则，所以，由可得的取值范围是，故错误；对于选项C，锐角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正确；对于选项D，锐角三角形ABC中，因为，即，，又∵，∴，故正确．故选：ACD．12.已知直三棱柱中，ABBC，，D是AC的中点，O为的中点.点P是上的动点，则下列说法正确的是（）A.点P在上运动，直线与AB所成的最大角为45°B.当点P运动到中点时，直线与平面所成的角的正弦值为 C.无论点P在上怎么运动,都有D.当点P运动到中点时，才有与相交于一点，记为Q，且【答案】ACD【解析】【分析】构造线面角，由已知线段的等量关系求的值即可判断B是否正确；利用线面垂直的性质，可证明，即可判断C是否正确；由重心的性质有可知D是否正确；由直线的平行关系构造线线角为，结合动点分析角度范围，即可判断A是否正确．详解】直三棱柱中，，令，对于B：当点运动到的中点是，取为中点，连接，，如下所示：即平面，所以直线与平面所成的角的正弦值，，因为，，所以所以，故B不正确；对于C：连接，与交于点，并连接，如下图所示： 因为平面，所以平面，所以，由题意知，为正方形，所以，又，所以面，面，故，同理可证：，又，所以面，又面，所以，故C正确；对于D：点运动到的中点时，即在中，均为中线，所以为中线的交点，即为的重心，所以根据重心性质有，故D正确；对于A：由于，直线与直线所成的角为与所成的角，即，由C选项的分析可知，平面，所以,所以当最长时，最大， 而，所以当在或上时，最大为，A正确.故选：ABD．第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在某次数学测验中，5位学生的成绩分别为：70，85，t，82，75，若他们的平均成绩为81，则他们成绩的分位数为________．【答案】85【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可．【详解】由题意知，解得，把这组数据按从小到大的顺序记为：70，75，82，85，93，指数，这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第四个数，因此，这组数据的75%分位数为85．故答案为：85．14.已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【解析】【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝考点：本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力. 15.下图为一个母线长为2，底面半径为的圆锥，一只蚂蚁从点出发，沿着表面爬行一周，又回到了点，则蚂蚁爬行的最短距离为_________.（填数字）【答案】【解析】【分析】先记圆锥的顶点为，沿将圆锥展开，作出其侧面展开图，根据图形得到爬行的最短距离即是弦的长，结合题中数据，求出弧的长度，再由弧长公式求出圆心角，即可得出结果.【详解】记圆锥的顶点为，沿将圆锥展开，作出其侧面展开图，由图形可得，蚂蚁从点出发，沿表面爬行一周，又回到点，爬行的最短距离即是弦的长，因为底面半径为，所以底面圆的周长为，即展开图中弧的长度为，又母线长为2，所以，因此，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图，以及弧长公式的相关计算，熟记几何体结构特征，以及弧长公式即可，属于常考题型.16.在中，给出如下命题:①是所在平面内一定点，且满足，则是的垂心； ②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；③是内一定点，且，则；④若且，则为等边三角形，其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）【答案】①②④．【解析】【分析】①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的.【详解】①:，同理可得：,，所以本命题是真命题；②:，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题；③:由，可得设的中点为，,,故本命题是假命题； ④:由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且∥，求向量的坐标；（2）若，且在上的投影向量为，求与的夹角．【答案】（1）或．（2）【解析】【分析】（1），然后由，且∥，列方程组要求得结果；（2）与的夹角为θ，则由在上的投影向量为，可求出，从而可求出.【小问1详解】设， 因为，且∥，所以，解得，或，所以，或．【小问2详解】设与的夹角为θ，因为在上的投影向量为，且，所以，将代入，可解得，因为，所以．即与的夹角为.18.某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，，，，，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.（1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据：【答案】（1），（2），进入【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出的值，再根据平均数的定义可求出；（2）利用方差公式求出方差，然后计算出，再判断即可.【小问1详解】．.该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：分.【小问2详解】．，．得分为52分的同学的成绩没有进入到，内，得分为94分的同学的成绩进入到了，内．19.已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解】解：根据函数的部分图象可得，，所以.再根据五点法作图可得，所以，.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 由，可得又函数在上单调递增，在单调递减，，函数在的值域.20.已知的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的值．（Ⅱ）若的面积为，且，求a的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）由三角形内角和为去掉,二倍角公式化简可得,从而求出；（Ⅱ）代入三角形面积公式可得，结合条件解出，，余弦定理求.【详解】解：（I）由，得，即，∵，∴，又，∴，故．（Ⅱ）由面积，得，又，∴，，由余弦定理，∴．21.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，， ．（1）证明：平面．（2）若四棱锥的体积为12，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，利用勾股定理证得，利用线面垂直的判定定理，得到平面；（2）设，根据四棱锥的体积为，求得，利用等体积法，求得到平面的距离.【详解】（1）证明：因为底面是菱形，所以．因为，且，所以平面．因为平面，所以．因为，且，所以，因为，所以，则．因为与相交，所以平面．（2）解：由（1）可知平面，，则． 设，则四棱锥的体积为，解得．在中，，，则的面积为．设点到平面的距离为．因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，解得，即点到平面的距离为．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）用好线面垂直的判定定理和性质定理，条件要写全，证得线面垂直；（2）根据三棱锥的顶点和底面转换，利用等积法求得点到平面的距离.22.函数且，函数.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；（3）设的反函数为，，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可；（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：解得： 则有：故的解析式为：【小问2详解】由，可得：不妨设则有：又则有：故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为故故实数取值范围为：【小问3详解】的反函数为：若对任意的，均存在，满足则只需：恒成立不妨设，则设，则在上可分如下情况讨论：当时，，此时，不满足恒成立当时，，此时只需：上恒成立 则只需：在上恒成立则只需：时，不等式成立解得：，与矛盾；当时，，此时，只需保证：则只需：在上恒成立当时，只需保证：当时，成立则有：解得：又，故有：当时，只需保证：当时，成立此时解得：又故有：故当时，综上所述，解得：实数的取值范围为：【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，，则有：（1）若，，恒成立，；（2）若，，能成立，