四川省乐山市沫若中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

沫若中学2022级高二上期入学考试数学试卷（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（）A.B.C.D.60【答案】B【解析】【分析】根据扇形弧长公式计算即可.【详解】易知，由扇形弧长公式可得.故选：B2.复数的虚部是（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】，则其虚部为.故选：B.3.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（） A.抛一枚硬币，出现正面朝上B.掷一个正方体的骰子，出现3点朝上C.从一个装有2个红球1个黑球袋子中任取一球，取到的是黑球D.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃【答案】C【解析】【分析】依次计算4个选项的概率即可判断.【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为，A错误；B选项：3点朝上的概率为，B错误；C选项：取到的是黑球的概率为，C正确；D选项：花色是红桃的概率为，D错误.故选：C.4.已知是第二象限角，则（）A.是第一象限角B.C.D.是第三或第四象限角【答案】D【解析】【分析】由已知可求，，可得第一象限或第三象限角，由已知可求，，可得是第三象限或第四象限角，逐项分析即可得解．【详解】解：对于A，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第一象限或第三象限角，故错误；对于B，由可知是第一象限或第三象限角，故错误；对于C，∵是第二象限角，∴，，∴是第三象限或第四象限角，，故错误； 对于D，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限或第四象限角，故正确；故选D．【点睛】本题主要考查了角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．5.如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是（）A.10kmB.20kmC.kmD.km【答案】C【解析】【分析】为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离．【详解】根据题意，可得，即，，在中，利用正弦定理得，得,则这时船与灯塔的距离是.故选：C．6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果． 【详解】因为，平方得，又故，则．故选：B.7.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别求得可得，且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由平面向量的夹角为，且，可得，且，设向量与的夹角为所以，因为，可得，即与的夹角为.故选：B.8.如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（） AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设，由向量的线性运算可得，再根据已知列等式计算即可求出.【详解】由题意，是上一点，设，则，又，所以，所以，所以，解得.故选：C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组数据为：3，4，6，7，7，5，5，4，5，4，则这组数据的（）A.平均数为5B.众数为5C.中位数为5.5D.方差为【答案】AD【解析】【分析】先将数据从小到大排列，然后根据平均数、众数、中位数、方差公式求解即可.【详解】将数据从小到大排列：.平均数为，众数为4和5，中位数为，方差为，故AD正确，BC错误.故选：AD10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是5”，表示事件“第二次掷出的 点数是偶数”，表示事件“第一次掷出的点数是5”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.与互斥B.C.与对立D.与相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥的意义判定A;利用对立事件和独立事件概率公式可求得,从而判定B;根据对立事件的概念和结合题意判定C;利用独立事件的概率公式判断D.【详解】若两次掷出的点数之和是5，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于5，故A与C互斥，故A正确；“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，所以，故B正确；由于“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，故B与D不是对立的，故C错误；先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有6×6=36中等可能的不同情况，“两次掷出的点数之和是5”有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种不同的情况,第二次掷出的点数为偶数的情况有（=1，2，3，4，5，6）共18种不同情况，两次掷出的点数之和为5且第二次掷出的点数为偶数的情况有两种情况，所以所以,所以A,B独立，故D正确.故选：ABD11.给出下列命题，其中假命题为（）A.两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；B.若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；C.若与同向，且，则；D.为实数，若，则与共线.【答案】ACD【解析】 【分析】根据向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐个分析判断即可【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，故选：ACD12.科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以天、天和天为周期，均可按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（）A.第天时情绪曲线处于最高点B.第天到第天时，智力曲线与情绪曲线不相交C.第天到第天时，体力曲线处于上升期D.体力曲线关于点对称【答案】AC【解析】【分析】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，根据周期求出对应的解析式，然后利用正弦函数的性质可判断ACD，对于B，设，利用零点存在定理可判断.【详解】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，所以，，.A项：第天时，，故处于最高点，A正确； B项：设，因为，，故利用零点存在定理可得存在，使得，故此时智力曲线与情绪曲线相交，B错误；C项：因为，所以，因为，所以根据正弦函数的性质可得此时单调递增，故处于上升期，C正确；D项：因为，所以，体力曲线不关于点对称，D错.故选：AC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为______.【答案】【解析】【分析】先求出抽样比,再乘以样本容量即可得到应抽取的女生人数.【详解】从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，其抽样比例为，所以抽取的女生人数为.故答案为：.14.已知平面向量，，.若，则x＝______.【答案】【解析】【分析】根据向量坐标运算及向量共线的充要条件得到方程，解出即可.【详解】，因为，则，解得，故答案为：. 15.已知，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式即可求解.【详解】由余弦二倍角公式可得，，故答案为：16.在中，，，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围．【详解】根据正弦定理得，即，，，，，所以，，即的取值范围． 故答案为：．四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤.17.已知，且是第二象限角．（1）求，的值；（2）化简求值：．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用平方关系和商数关系求解即可；（2）利用诱导公式化简即可得解.【小问1详解】因为是第二象限角，，所以，；【小问2详解】原式.18.已知平面向量、，，，且与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．【答案】（1）1（2）2（3）【解析】 【分析】（1）求出，根据数量积的定义即可求得答案；（2）根据向量模的计算即可得答案；（3）根据向量垂直，则数量积为0，列式计算，结合数量积的运算律，即得答案.【小问1详解】由，有，∴【小问2详解】；【小问3详解】因为与垂直，所以，即，∴，∴.19.某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】（1）分；（2）分；（3）.【解析】【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率.【小问1详解】解：由，得.数学成绩在：频率，频率，频率，频率，频率，频率，样本平均值为：，可以估计样本数据中数学成绩均值为分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．【小问2详解】解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，在分以下所占比例为因此，第百分位数一定位于内，由，可以估计样本数据的第百分位数约为分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.【小问3详解】解：由题意可知，分数段人数为(人)，分数段的人数为(人)．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，则样本空间共包含个样本点而的对立事件包含个样本点所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．20.与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【小问1详解】记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，， 即，，所以，，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．【小问2详解】有3个家庭回答正确的概率为，有2个家庭回答正确的概率为，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．21.已知函数，且.从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①函数图像中相邻的两条对称轴之间的距离为；②函数图像与直线的两个相邻交点之间的距离为；③点在上.（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图像向上平移个单位，接着向左平移个单位，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，求函数的最小正周期和对称轴及时的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别选①②③应用三角函数对称轴性质最大值及特殊点分别求出周期进而确定解析式,根据递增区间求解即可;（2）根据平移伸缩确定的解析式,进而分别求出最小正周期和对称轴及时的值域即可.【小问1详解】 选①，依题意，，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，有，则有，由得：所以函数的单调递增区间是.选②，依题意，，显然，因函数图像与直线的两个相邻交点之间的距离为，因此函数的周期，有，则有，由得：，所以函数的单调递增区间是.选③，依题意，，，即，则，即有，而，则，则有，由得：所以函数的单调递增区间是.【小问2详解】由（1）知，所以将的图像向上平移个单位，接着向左平移个单位，得到，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，则，所以函数的最小正周期为；对称轴为；因为，所以，则的值域为. 22.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简计算可得；（2）由正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以，又，所以；【小问2详解】由正弦定理可知:，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以，