湖南省 2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附答案）

常德市一中2023年下学期高二年级入学考试试卷数学时量：120分钟满分：150分命题人：高二数学备课组一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（）A.B.C.或D.或3.已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（）A.B.C.D.4.设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（）A.B.C.D.5.已知，，且，则的最小值是（）A.18B.16C.10D.46.下列三个数：，，，大小顺序正确的是（）A.B.C.D.7.如图，二面角等于120°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，则的长等于（） A.B.C.4D.28.已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各式中值为1的是（）A.B.C.D.10.若，，，则事件与的关系错误是（）A.事件与互斥B.事件与对立C.事件与相互独立D.事件与既互斥又独立11.已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点中心对称C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 12.如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（）A.，，三点共线B.异面直线与所成的角为90°C.点到平面的距离为D.过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，若，则______.14.已知，则______.15.正三棱锥底面边长为2，为的中点，且，则正三棱锥外接球的体积为______.16.在中，，，，则周长的最小值为______.四、解答题（共70分，17题10分，18-22题每题12分）17.（本小题满分10分）在中，，，的对边分别为，，，若满足，.（1）若，求的大小；（2）若满足，求及的值.18.（本小题满分12分）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率.19.（本小题满分12分）某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本3万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，在月产量不足7万件时，；在月产量不小于7万件时，，每件药品售价6元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完.（1）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式（注：月利润=月销售收入-固定成本-流动成本）；（2）月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；（2）若，，求的值.21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为45°，求三棱锥的体积.22.（本小题满分12分）已知函数，（且），且. （1）求的值，判断函数的奇偶性并说明理由；（2）当时，求不等式的解集；（3）若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围.常德市一中2023年下学期高二年级入学考试数学参考答案一.单选题：（40分）1.C2.B3.C4.D5.B6.C7.C8.A二.多选题：（20分）9.CD10.ABD11.AD12.AB三.填空题：（20分）13.14.215.16.四.解答题：17.解：（1）若，由余弦定理，可得，即……4分（2）因为，可知角为锐角，则，又因为，即，解得，……7分由余弦定理，即，由正弦定理，可得.……10分18.解（1）由，解得；这100人的竞赛成绩的平均数估计为：……4分（2）成绩在的频率为0.25，成绩在的频率为0.05，……6分所以竞赛成绩在，两个组的人数之比为，采用分层抽样的方法从中抽取12人， 所以成绩在抽得的人数为人，成绩在抽得的人数为人现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，则这名组长的竞赛成绩在内的概率为……12分19.解：（1）由题意得，当时，，……3分当时，，故……6分（2）当时，，当时，最大值为5万元.……8分当时，，……10分当且仅当，即时等号成立，即最大值为10万元.∵，∴当月产量为12万件时，该企业所获利润最大值为10万元.……12分20.解：（1）∵，∴，当即时，，此时，……3分当即时，，此时.……6分（2）∵，……8分∴，∵，∴，∴，……8分 ……12分21.解：（1）因为，为中点，所以因为平面平面，平面平面，平面，因此平面，因为平面，所以.……5分（2）作于，作于，连，因为平面，所以，所以，，，因此平面，即，因为，，所以平面，即，则为二面角的平面角，，……8分因为，为正三角形，所以为直角三角形，因为，∴从而∴∵平面，所以…12分22.解：（1）由得，故，.为奇函数，理由如下：定义域满足，即，又，故为奇函数……3分（2），，即，即，解得.故不等式的解集为.……6分 （3）的定义域为，，为增函数，∵，∴，∴.经检验不符合方程，故可化为，又，可化为，令，则.∵关于的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点.∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在、单调递增，，