山东省临沂市兰山区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022级普通高中学科素养水平监测试卷数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，其中为虚数单位，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用共轭复数的定义即可判定.【详解】因为，所以，所以对应的点（－1，－2）位于第三象限．故选：C2.下列化简不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A选项，，所以A选项正确.B选项，，B选项正确.C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误.故选：D3.已知，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的倍角公式和和角公式计算即可.【详解】由已知可得，所以.故选：B4.已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可【详解】所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图：又，所以为等边三角形， ，，向量在向量上的投影数量为：．故投影向量为.故选：D．5.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的运算以及正六边形的性质求得正确答案.【详解】A选项，，A选项错误.B选项，设，则是的中点，则，B选项错误.C选项，与的夹角为锐角，与的夹角为钝角，所以，C选项错误.D选项，设正六边形的中心为，则，所以，D选项正确.故选：D 6.若平面向量的夹角为，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积的运算律分别计算每一个选项的向量的数量积即得解.详解】解：对于选项A,,所以该选项不正确；对于选项B,,所以，所以该选项正确；对于选项C,,所以该选项不正确；对于选项D,，所以该选项不正确.故选：B7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）A.海里B.海里C.海里D.海里【答案】A【解析】【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可.【详解】由题设可得如下示意图，且，即， 由图知：，则，又，所以，则海里.故选：A8.已知，，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知得、，再由及角的范围即可求角的大小.【详解】由，则，又，故，所以，而，则，，又，则故选：D二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A.|z|＝B.z2＝2i C.z的共轭复数为D.z是关于x的方程的一个根【答案】ABD【解析】【分析】利用复数的相关概念以及复数的运算进行计算求解.【详解】因为，所以，故A正确；因为，故B正确；因为z的共轭复数为，故C错误；因为方程，所以，所以方程的根为，故D正确.故选：ABD.10.下列说法不正确的是（）A.若，则、的长度相等且方向相同或相反B.若向量，满足，且同向，则＞C.若，则与可能是共线向量D.若非零向量与平行，则四点共线【答案】ABD【解析】【分析】因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D.【详解】对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向,因而选项A错误；对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；对于D项，与平行，可能，即四点不一定共线，因而选项D错误．故选：ABD.11.已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（） A.B.C.若，则周长的最大值为D.若，则面积的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得，进而知A正确；将的值代入已知等式可求得，知为等比三角形，得B错误；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，进而知C正确；设，代入三角形面积公式中，根据二次函数最值的求法可知D正确.【详解】，，解得：，由得：，，，解得：（舍）或，，，A正确；，，，即，为等边三角形，，B错误； ，，在中，由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），解得：，周长的最大值为，C正确；设，则，，则当时，取得最大值，D正确.故选：ACD.12.在平行四边形中，是上一点，，是的中点，且，，，则下列说法正确的是（）A.B.在上的投影向量是C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；利用平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得，A错； 对于B选项，在上的投影向量，B对；对于C选项，因为，即，可得，①又因为，即，可得，②又①②可得，故，C对；对于D选项，由可得，故，D错.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，则的虚部为______．【答案】【解析】【分析】先化简复数，再求得其共轭复数，然后利用复数的概念求解.【详解】解：由题意得，则，所以的虚部为－4，故答案为：-414.若，则____________【答案】【解析】【分析】利用诱导公式将转化，再由二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由，故答案为：15.已知向量，满足，，，则______．【答案】【解析】【分析】两边平方，求出，从而利用求出答案.详解】由可知，即，又，，解得，故.故答案为：.16.的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，；则的面积为_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，利用三角形的面积公式求得正确答案.【详解】依题意，，，由正弦定理得：，整理得，所以，所以为锐角且，同时，解得，所以， 所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或验算步骤.17.已知复数，其中a是实数．（1）若，求实数a值；（2）若是纯虚数，求【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.【小问1详解】复数，则，又a是实数，因此，解得，所以实数a的值是1.【小问2详解】复数，，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，则，即有，所以. 18.已知是同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）首先设，根据条件，建立方程组，求坐标；（2）利用，以及向量数量积的公式求的值.【详解】（1）设，则，解得：或，所以或，（2），，，整理为，解得：19.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【详解】分析：（Ⅰ）已知等式左边利用正切差角公式化简求出的值，（Ⅱ）所求式子利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，华为关于的式子，将 的值代入计算即可求出值；详解：（Ⅰ）∵，∴（Ⅱ）原式点睛：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．20.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求得，解直角三角形求得.【详解】，由正弦定理得，在直角三角形中，，. 21.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【小问1详解】，，，，函数的值域为．【小问2详解】由（1）知，，，，，即，，，，又，， ，又，，．22.如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.（1）若，求EF的值；（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.【小问1详解】由题意可得，设，则，在中，由余弦定理， 则，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.【小问2详解】设，则，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面积 ，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值.