山东省滨州市沾化区、阳信县2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022—2023学年第二学期期中考试高一数学试题本试卷共4页，共22题，满分150分，考试时间为120分钟注意事项：1．答题前务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号填在规定位置．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算及复数的几何意义即可判定【详解】，即对应的点为位于第三象限.故选：C2.设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】从充分性及必要性两个角度分析.【详解】由线面平行性质定理，，，方可推出，“”不是“”的充分条件；可在平面内找到一条直线与平行，不一定有，故“”不是“”的必要条件；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D.3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（）A.B.C.D.△ABC为钝角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理求解或，再分类讨论逐个判断即可【详解】由正弦定理，有，因为，故或，故三角形有两种解，故ABC均错误，当时，，或当时△ABC均为钝角三角形，故D正确；故选：D4.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用共线向量定理求解.【详解】因为D是AB边上的一点，所以A，B，D三点共线，所以，则，因为，所以，因为A，B，C不共线，所以，解得，故选：B 5.的三个内角的对边分别为，若，则的形状是（）A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定理及正弦定理进行边角互化化简，即可判断.【详解】解：，整理得，，即，，由正弦定理得，，即，由正弦定理得，故，故为等腰直角三角形.故选：D.6.一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（）A.cmB.cmC.cmD.cm【答案】B【解析】【分析】根据木球在水中的体积等于水槽上升的体积，即可求解出水槽中水面上升的高度.【详解】直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，可得木球在水中的体积V＝＝；∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积，水槽上升的体积为Sh．∴水槽上升的高度h＝故选：B． 7.已知为锐角三角形，，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形得出角的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为为锐角三角形，所以,解得,所以在中，由正弦定理，得，即,由，得，即.所以的取值范围为.故选：C.8.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（）A.1B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】设，分别求出点的坐标，再根据题意即可得出不等式，解出即可.【详解】设，所以点，，所以，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知z为复数，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】令，然后逐个分析判断即可【详解】令，则，对于A，因为，，所以，所以A错误，对于B，因为，，所以，，所以B正确，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，因为两个虚数不能比较大小，所以D错误，故选：BC10.已知平面平面，直线，，直线，且与相交，则和的位置关系不正确的是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能【答案】ABD【解析】 【分析】通过空间中线面与线线位置关系，对三种不同情况进行讨论与判断，即可得到答案.【详解】若与平行，，，与与相交矛盾，所以A错误；若与相交，由直线，直线，平面平面，可知与都在同一点处与相交，这与矛盾，所以B错误；因为空间中两条直线的位置关系由平行、相交、异面这三种情况，故与只能异面，所以选项C正确；综上所述，选项D错误.故选：C.11.已知非零平面向量，，，则（）A.存在唯一的实数对m，n，使得B.若，则C.若，，共线，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的运算法则，逐项验证可得答案.【详解】对于选项A，若共线时，不一定存在实数对m，n，使得，A不正确；对于选项B，因为，且，，，均为非零向量，所以，均与垂直，所以，B正确；对于选项C，只有，，同向时，才有成立，C不正确；对于选项D，，因为，所以,D正确.故选：BD.12.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（） A.平面平面B.直线平面C.直线平面D.直线平面【答案】ABC【解析】【分析】由线面平行的判定定理可得平面，平面，进而得出平面平面，故A正确；由中位线可知，进而由线面平行的判定定理，可得平面，故B正确；由，可得平面，故C正确；，所以直线与平面不平行，故D错误.【详解】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.对于A，因为E,F分别是的中点,所以.又平面，平面，所以平面.同理,平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面,平面，所以平面，故B正确；对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误. 故选：ABC【点睛】本题考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题目.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________【答案】##【解析】【分析】根据向量在向量上投影向量为，由求解.【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为，所以，即，因为，所以，故答案为：14.在中，若，，则______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理结合已知条件计算即可【详解】由正弦定理得，所以，所以，故答案为：2 15.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为____________【答案】##【解析】【分析】先利用侧面积求出底面半径，然后利用圆锥的体积公式可求答案.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，因为母线长为2，侧面积为，所以，解得；所以，圆锥的体积.故答案为：.16.在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量，且.则△ABC的面积是_________【答案】##【解析】【分析】先根据向量平行求出，结合余弦定理可得，利用面积公式可求答案.【详解】因为，；所以，解得；，即，解得；又，所以，所以△ABC的面积为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知向量，，且．（1）求向量与的夹角；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）求出，然后由数量积的定义求得夹角；（2）计算出后可得所求模．【详解】（1）由题意，，∴，∴，，∴；（2），∴．18.已知复数，，其中i是虚数单位，．（1）若为纯虚数，求a的值；（2）若，求的虚部．【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可.【小问1详解】由题意得，因为为纯虚数，所以且，综上，．【小问2详解】因为，所以，即， 所以，所以，所以的虚部为1．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD，BC交于点M，根据线面平行判定定理证明平面DEF，然后根据线面平行性质证明平面DEF．【详解】证明：延长AD，BC交于点M，因为，AB=2CD，所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，又P，平面PAD，P，平面PBC，所以平面平面PBC=PM，即直线l为直线PM．所以平面DEF．20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若，求周长的取值范围．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，解得，，从而得到．（2）由正弦定理可得，由（1）及差角正弦公式、辅助角公式、正弦型函数性质求范围，即可求周长的范围．【小问1详解】因为，所以，由正弦定理，得．故，因为，故．【小问2详解】由正弦定理得：，所以，．又，则，所以，又，所以周长的取值范围是．21.如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．（1）在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由； （2）假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．【答案】（1）存在，（2）【解析】【分析】（1）假设存在一点N，使直线平面PBC，连接并延长，交于E，连接．可得，，再由，可得，假设成立，并且此时.（2）由（1）得，然后利用余弦定理求得，又因，即可求得的长.【小问1详解】存在，；理由如下：假设存在，连接并延长，交于E，连接．因为平面，平面，平面，所以，则，因为正方形中，，所以，假设成立.则此时.【小问2详解】由（1）得，所以；中，，所以 所以；因为，所以，所以．22.如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB，AC分别交于点M，N．（1）求证：的值为常数；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，，，分别表示出，，根据M，O，N三点共线，求得的值为常数；（2）在△AOM中，，，，由正弦定理，解得，由正弦定理得，得到，，最后结合三角函数及角度范围求得的取值范围.小问1详解】连接AO并延长，交BC于D，则D是BC的中点，设，，， 则，，设则，①，又，②，所以，．因为M，O，N三点共线，故存在实数t，使，所以，所以，即的值为常数；【小问2详解】设，则．在△AOM中，，，，由正弦定理得：，即，所以．在中，，由正弦定理得：，即，所以，因为，所以，所以；所以的取值范围是．