甘肃省张掖市某重点校2023-2024学年高二数学上学期开学检测试题（Word版附答案）

高二年级暑假学习效果检测数学试卷2023年8月26日一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知(为虚数单位)，则复数=A．B．C．D．2．的值为（　　）A．B．C．D．3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）A．，B．，C．，D．，4．某校举办文艺汇演，高二（1）班的大合唱“保卫黄河”的12位评委的打分如下：8.4，9.3，8.9，8.8，8.6，8.2，8.5，8.4，9.2，8.8，8.7，9.4，则这组数据的（   ）A．极差为1B．众数为8.4C．80%分位数为8.9D．第三四分位数为9.055．的值等于（    ）A．B．0C．D．6．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.97．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．，则B．，则C．，则D．，则8．在中，，则（  ）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．下列命题正确的是（）A.不共线的三点确定一个平面B.平行于同一条直线的两条直线平行C.经过两条平行直线，有且只有一个平面D.如果空间中两个角两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等10．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是（    ）A．取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件B．至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件C．事件A＝“两个球同色”，则D．事件B＝“至少有一个红球”，则11.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象关于直线对称D.在上的值域为12．已知平面四边形，O是四边形所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（） A．若，则四边形是平行四边形B．若，则为直角三角形C．若，则四边形是矩形D．若动点满足（），则动点P的轨迹一定通过的重心一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.是虚数单位，已知．写出一个满足条件的复数________．14.已知向量，，若，则__________.15.已知球的体积为，则该球的表面积为______.16．若函数在内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知向量，满足，且，．(1)求；(2)若与的夹角为，求的值.18.某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲每轮射中的概率为，乙每轮射中的概率为．在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮比赛结果也互不影响．（1）求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；（2）求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率．19．的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的面积.20．如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.(1)求直线与所成角的正切值(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.21．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出人，并将这人按年龄分组，记第组，第组，第组，第组，第组，得到如下频率分布直方图：(1)求出频率分布直方图中的值和这人的年龄的中位数及平均数；(2)从第组中用分层抽样的方法抽取人，并再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.22．如图所示，在四棱锥中，该四棱锥的底面是边长为6的菱形，，，，为线段上靠近点的三等分点. (1)证明：平面平面；暑假学习效果检测数学参考答案：1．B2．B3．C4．D5．C6．C7．C8．A9.ABC10.ACD11.ACD12.ABD单选每个5分，多选题少选且正确的给2分，全部选对5分，选错不得分17．(1)；(2).【分析】（1）根据向量的线性运算计算即可；（2）由计算即可.【详解】（1）解：，又因为，，∴；（2）解：由题意可得，又因为，所以.18.（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可；（2）根据二项分布算出甲和乙在三轮比赛中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利用独立事件的乘法公式和概率的加法即可.【小问1详解】设，分别表示甲、乙在第k（，2，3，…）轮射中，则，．设C表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次，则，所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次概率为．【小问2详解】设，，，分别表示甲在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，，，，分别表示乙在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，M表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次．，， ，，，，，，所以，故“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率为．19．(1)(2)【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得，再由三角形内角性质得，进而确定角的大小；（2）根据余弦定理求，再应用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）由结合正弦定理可得，整理得，，.（2），即，解得，的面积为.20．(1)(2)证明见解析，点到平面的距离为【分析】（1）通过平行线转化，从而找到直线与直线所成角，然后通过解三角形知识即可求解；（2）利用平面与平面垂直的判定定理即可证明；再作出点到平面的垂线段，然后利用等面积法即可求解.【详解】（1）由正三棱柱的结构特征可知：，平面，为等边三角形；直线与所成角即为，平面，平面，，因为是的中点，所以，所以在中，，即直线与所成角的正切值为.（2）因为是的中点，为等边三角形，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.在平面内作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面，，平面，点到平面的距离即为的长，由（1）知：，，，即，点到平面的距离为.21．(1)，中位数为，平均数为(2)【分析】（1）根据频率和为的性质可构造方程求得；根据频率分布直方图估计中位数和平均数的方法，直接估算即可；（2）根据分层抽样可确定人中分别来自第的人数，利用列举法可得所有基本事件和满足题意基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；，，中位数位于，设中位数为，则，解得：，即中位数为；平均数为.（2）第组的频率之比为，抽取的人中，第组应抽取人，记为；第组应抽取人，记为，则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，共个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共个基本事件；两人恰好属于同一组别的概率.22．(1)见解析(2)，【分析】（1）根据菱形性质得，利用三线合一有，最后利用面面垂直的判定即可；（2）点F存在且，利用线面平行的判断定理可证线面平行，过作，交于点，利用余弦定理求出，最后利用线面角的定义即可.【详解】（1）设与相交于点，连接，四边形为菱形，，               ，，       又，平面，  则平面，    平面，平面平面．（2）存在点F满足题意，且，假设在PD上存在点F，使得平面PBC，证明：过点作，交于，连接，， ，，故，而，，故故为平行四边形，故，而平面，平面，故平面.  综上，在PD上存在点F，使得平面PBC，此时，在中，，，在（1）知，又，平面，平面，  过作，交于点，故且，，则，则，在中，，故，       连接，在中，，平面，则为直线与平面所成的角，在中，，，直线与平面所成角的大小为．