江西省九江市2022-2023学年高一数学下学期期末模拟试题（Word版附解析）

2022-2023学年度下学期第二次阶段性模拟试卷高一数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1.已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】结合复数运算法则求的代数形式，由此可求复数，再求其在复平面上的对应点的坐标及其象限.【详解】因为，所以，所以，所以复数在复平面上的对应点的坐标为，该点位于第一象限.故选：A.2.计算（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两角差的正弦公式即可化简求值.【详解】由两角差的正弦公式可得：故选：C3.在空间中，下列说法正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线平行B.垂直于同一直线的两条直线垂直 C.平行于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；根据线面垂直的性质可知：D正确；故选：D．4.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.【详解】，在上的投影向量为，故选：C5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求，结合的范围判断解的个数.【详解】A：由，则，而，无解；B：由，则，而，有唯一解；C：由，则，而，有两解； D：由，则，而，有两解；故选：B6.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数图像左加右减的平移原则以及诱导公式即可求解.【详解】根据题意分析得：，所以.又函数与函数为同一函数，，，得.故选：A.7.已知正三棱台的上、下底面面积分别为，若，则该正三棱台的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果.【详解】若正三角形的边长为，则其面积为由题意可得：，取的外接圆的圆心为，正三棱台的外接球的球心，连接 ，过作底面的投影，可得，则，由，可得，设外接球的半径为，则，可得，解得，所以该正三棱台的外接球的表面积.故选：D.8.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设出，，，从而得到，转化为点到和点三个点的距离之和，画出图形，求出点坐标为，得到答案.【详解】设，，， 则，即为点到和点三个点的距离之和，则△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得：要保证∠APB=120°，则∠APO=60°，因为OA=1，则，所以点坐标为时，距离之和最小，最小距离之和为.故选：B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列各式的值为的是（　　）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用二倍角公式公式及特殊角三角函数计算可得.【详解】对于A： ，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为，所以，解得或（舍去），所以，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD10.若函数，则该函数（）A.最小值为B.最大值为C.在上是减函数D.奇函数【答案】AC【解析】【分析】求得函数最小值判断选项A；求得函数最大值判断选项B；判定出在上的单调性判断选项C；求得函数的奇偶性判断选项D.【详解】选项A：当时，函数取得最小值.判断正确；选项B：当时，函数取得最大值.判断错误；选项C：在上单调递减，在上单调递减，则函数在上是减函数.判断正确； 选项D：由可得函数为偶函数.判断错误.故选：AC11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.若，则在上是单调增函数B.若，则正整数的最小值为2C.若，把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数D.若在上有且仅有3个零点，则【答案】ABD【解析】【分析】化简函数f(x)的表达式，根据正弦函数的性质与图像再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答.【详解】依题意，，对于A，，，当时，有，则在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；对于B，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得，而，即有，，故B正确；对于C，，，依题意，函数，这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确； 对于D，当时，，依题意，，解得，故D正确.故选：ABD12.如图，在长方体中，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（）A.不存在点，使得B.三棱锥的体积恒为定值C.存在唯一的点，过三点作长方体的截面，使得截面的周长有最小值D.为棱上一点，若点满足，且平面，则为的中点【答案】BCD【解析】【分析】选项A.先证明存在点使得平面，从而可判断；选项B.由为定值，根据可判断；选项C.先作出截面，然后将侧面展开，使得面与面在同一平面内，从而可判断；选项D.在梯形中，两腰延长必相交，设交点为,连接，从而可得，从而可判断.【详解】选项A.在底面矩形中，连接交于点,由，则所以,所以,为等边三角形取中点，连接并延长交于点，则又在长方体中，平面，且平面，则 又,所以平面,又平面所以，所以存在点，使得，故选项A不正确.选项B.在长方体中，平面,所以所以三棱锥的体积恒为定值，故选项B正确.选项C.在上取点，使得，连接则四边形为平行四边形,所以过三点作长方体的截面为面将侧面展开，使得面与面在同一平面内，连接,交于点，此时最小，即截面的周长最小所以存在唯一的点，使得截面的周长有最小值，故选项C正确.选项D.在梯形中，两腰延长必相交，设交点为,连接由,,即,所以,即，则 平面,面平面由平面，则又，所以为平行四边形,则，则所以为的中点.故选项D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）13.设，则等于__________．【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算求出复数，再利用共轭复数与模的意义计算作答.【详解】依题意，，，所以.故答案为：14.中，分别是的内角所对的边，若，则等于___________.【答案】【解析】 【分析】由正弦定理可得，代入即可得出答案.【详解】由正弦定理可得：则所以故答案为：15.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则这个圆锥的体积是___________.【答案】【解析】【分析】首先设圆锥的底面半径为，母线为，高为，根据题意得到，，，再求三棱锥的体积即可.【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，由题知：，所以，解得所以，则三棱锥的体积.故答案为：16.如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在与上的长方形铁皮，其中是弧上一点．设，长方形的面积为平方米．则当_________时，取最大值_________． 【答案】①.②.平方米【解析】【分析】根据几何性质，整理面积的函数解析式，利用换元的思想，根据三角函数的恒等变换，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意可知，，，，令，由，则，，，易知当时，，.故答案为：；平方米.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知．（1）若的终边位于第三象限角，求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）先利用两角差正切公式计算的值，再利用同角三角函数关系求得的值，最后求出的值；（2）利用二倍角的余弦、正弦公式，整理所求式子，并利用同角三角函数的商数关系化为用的表达形式，代入（1）中所求得的的值计算.【小问1详解】，∴，∴，∴，又∵的终边位于第三象限角，∴，∴，∴；【小问2详解】.18.已知四棱锥的底面是正方形，平面．（Ⅰ）设平面平面，求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）由得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行；（Ⅱ）证明平面后可得面面垂直．【详解】证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．（Ⅱ）因为平面，平面，所以，因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，与都在平面内，所以平面，又平面，所以平面平面．19.已知、的夹角为锐角，，，且在方向上的投影数量为．（1）若，求值；（2）若，，，若、、三点共线，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的几何意义求出的值，由可得出，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值；（2）求出、的表达式，由已知可得，利用共线向量的基本定理可求得实数的值.【小问1详解】解：在方向上的投影数量为，得．因为，则，因为，所以 ，解得.【小问2详解】解：由题意得，，因为、、三点共线，则，则，使得，即，又因为、不共线，则，解得.20.已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心．（2）根据（1）中确定，若的值域为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；（2）先求出所在的范围，正弦函数的性质得到，解得即可. 【小问1详解】因为在区间上单调，所以，因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，所以；若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，因为，所以，所以，，即，当时，，满足题意，故.若选条件②：因为是的对称中心，所以，所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.若条件③：因为是的对称中心，所以，所以，，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，因为，所以，又在上的值域为， 所以，解得，即.21.已知在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得的值；（2）先化简题给条件求得，代入题干条件进而求得，从而得到的最小值，再结合条件求出实数的取值范围.【小问1详解】依题意，，因为，所以.由正弦定理，得，故上式可化为.因为，所以，由正弦定理，得.【小问2详解】因为，由正弦定理，，因为，故，则，故， 因为，故，又，故，代入中，得，即.由余弦定理，，故，则，当且仅当时等号成立，故，又，所以实数的取值范围为.22.已知在正三棱柱中，，E是棱的中点．（1）设，求三棱锥的体积；（2）若把平面与平面所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．【答案】（1）（2）此三棱柱不是“黄金棱柱”，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据平面，再根据求解即可.（2）延长交的延长线于点，连接，根据题意得到为平面与平面所成二面角的平面角，且，即可得到答案.【小问1详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，为中点，所以.又因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面，，，所以【小问2详解】延长交的延长线于点，连接，如图所示：因为，是棱的中点，所以是的中点.所以，即.因为平面，平面，所以.又因为，，，所以平面. 又平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为正三棱柱中，，所以，