第二十七章相似教材分析（人教版九下）

第二十七章《相似》教材分析一地位与作用从数学知识上，相似形的几何性质是全等形的几何性质的自然而然的延伸和拓展；相似作为图形的一种变换也是全等变换的拓广和发展，同时，相似也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础．所以说相似在空间与几何的学习中起着承上启下的作用。从学生的数学认知发展来看，学生通过对直线形的学习，已积累了对图形的丰富的感性认识、一定的逻辑推理论证能力和利用几何模型分析解决实际问题的能力，这为相似的学习提供了坚实的知识基础和能力基础；同时，从特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合学生从特殊到一般的认知规律，学生在探究学习全等时所积累的数学思想和方法可以顺理成章地迁移到相似的研究中，这可以进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力，巩固和提高学生的逻辑推理证明的能力。此外，相似被广泛应用于现实生活中（测物体的高度、测河宽，制作艺术字等）。在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。通过对相似的应用研究，可进一步的加强学生数学建模的意识，提高学生分析解决实际问题的能力，对于学生今后从事各种实际工作也有重要作用。二课程学习目标1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割；2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题；3．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4．结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力．初中数学中考说明中对本章知识的要求：考试内容考试要求ABC图形的性质相似三角形了解相似三角形的性质定理和判定定理能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决有关简单问题27,空间与图形图形的变化图形的相似了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形与相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。图形与坐标坐标与图形运动在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系，了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似。在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标。运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。三知识结构框图相似图形相似多边形相似三角形位似图形对应角相等对应边的比相等周长比等于相似比面积比等于相似比的平方相似三角形的判定应用四教学重点、难点重点：相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容；难点：相似三角形的判定定理的证明．四基：27,基础知识：比例线段及其性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，位似的定义及性质；基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实际问题，会画位似图形（含在坐标系中）；基本思想：类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函数思想、建模思想；基本实践活动：如制作地图，测物体的高度，测河宽，制作艺术字等．五课时安排本章教学时间约需13（+2）课时，具体分配如下（仅供参考）：预备知识比例的概念和性质2课时27．1　图形的相似2课时27．2　相似三角形共7课时相似的判定4课时相似的性质2课时相似的应用1课时27．3　位似2课时数学活动小结2课时六教学建议1.借助本章教材内容的特点，培养学生阅读能力和自主学习的能力数学阅读能力是一种非常重要的数学学习能力，从中考试题的发展趋势来看，对学生阅读理解能力的要求逐渐提高；同时自主、主动地参与学习才能产生真正意义的学习。在平时的教学中，应该注意对学生数学阅读能力和自主学习能力的培养。从全等到相似，是一个从特殊到一般的过程，学生容易利用在前面学到的有关知识以及研究问题的方法进行相似的学习。老师可以在本章的某些章节（如相似三角形的性质与判定等）适当改变教学方式，引导学生用类比的方法进行自主学习。教师要指导学生阅读教材的方法：如何粗读，如何细读，怎样去理解概念、定理，怎样提炼解题的思想方法，如何设身处地地经历知识的形成过程，要让学生通过阅读，通过自主学习知其然，更要知其所以然，对难以理解的概念或难以解决的问题作出记号，以便带着疑问去听课。2.在教学中应注重知识形成过程的教学从中考试题的考察来看，有从常规的对固定知识的应用的考察到向“知识的形成过程”的考察发展的趋势，这也体现了课标中关于要重视学生的学习体验，重视知识的形成过程的要求。因此在教学中，让学生经历相似的定义、性质和判定定理的形成过程。让学生不仅要懂得结论、理解结论，也要了解结论是怎么来的。3．重视知识间的联系，注重数学思想方法的教学（1）类比思想：研究相似三角形的判定的问题时，可以和研究全等三角形的问题作类比：判定两个三角形全等，不一定要六个条件一一验证，有简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS27,），类似的，研究两个三角形相似时，也不是要对所有的对应角和对应边一一验证，也有简单方法。研究相似多边形的面积时，教科书也同研究多边形的内角和问题进行了类比：我们已经通过推理论证得到了相似三角形的面积比等于相似比的平方，类似于研究多边形内角和的方法，可以把多边形划分成若干个三角形，从而也能得到相似多边形面积的比等于相似比的平方。在教学时，要充分注意这些新旧知识联系的内容，注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用。这样有助于学生对于新知识的理解。相似和全等图形性质的区别和联系：他们的对应角都相等；全等图形的对应边也相等，周长也相等，面积也相等；相似多边形对应边成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。全等的判定相似的判定两角夹一边对应相等（ASA）两角一对边对应相等（AAS）两边及夹角对应相等（SAS）三边对应相等（SSS）直角三角形中一直角边与斜边对应相等（HL）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例（2）转化与化归思想(多边形的问题转化为已经解决的熟知的三角形的问题来解决等)（3）建模思想：实际生活中的问题，建立相似三角形的模型（几种基本图形）来解决,如测量旗杆的高度、河的宽度等。（4）方程与函数思想（利用对应边的比相等建立方程或函数关系式）（5）分类与整合思想（当相似三角形不确定时，采用分类与整合思想）4．重视基础知识、基本解题方法的归纳与提升（1）相似三角形的常见图形及其变换：常见图形A1BCDEABCDEABCDE（1）（2）（3）（1）若DE//BC，则．（2）若DE//BC，则．（3）若∠ADE=∠B，则．27,ABCDABCD（4）（5）（4）若∠ACD=∠B，则．（5）若AC⊥BC，CD⊥AB，则．（6）若AC⊥BC，DE⊥BC，则．（7）在直角梯形ABCD中，若AE⊥DE，则．ACBDEABCED（6））（7））47（2）证明四条线段成比例的常用方法：①线段成比例的定义；②三角形相似的预备定理；③利用相似三角形的性质；④转化:等线段代换、等比代换、等积代换．⑤构造相似基本图形（通常是添加平行线）构成比例．⑥利用面积关系5.几个需要说明的问题：①．以“∽”、“相似于”连接的形式，都是严格对应，不用分类；“…与以…为顶点的三角形相似”、“△…与△…相似”表述的形式是不严格对应，需要考虑分类．②．对于相似比，要注意顺序和对应的问题。如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比．两三角形相似后，可得对应边的比相等，然后才可得一个三角形自身两边的比与另一三角形对应的两边的比．③．类比全等，相似的传递性可直接应用．④．类似于判定三角形全等没有“边边角”，判定三角形相似也没有“边边角”．反例与全等时“边边角”的反例相同．⑤．要特别重视实际应用．27,⑥．在没有明确指出只画一个图形的情况下，利用位似变换把一个图形放大或缩小需要画出两个图形，尤其是在平面直角坐标系下求变换后的坐标时要有两个答案．七各节教学要点27．1图形的相似预备知识一：比例线段1.两线段的比:在同一单位下，两线段的长度比.2.（成）比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即＝，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．设a、b、c、d为线段，若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.在介绍比例中项之后，适当补充黄金分割的知识.3.比例性质：（1）比例的基本性质（这是等积式与比例式互相转化的依据）例1.已知（2x-3y）∶(x+y)=1∶2,求x∶y；（2）合比性质若，则或.例2.已知，则.*推广：若，则（分母不能为0）．（3）等比性质如果，那么*推广：如果，那么（分母不能为0）．例3.已知，则.总结证明比例式的常用方法：（1）“见比设k”：（以等比性质证明为例）27,∵，∴设．则．又∵，∴．（2）利用等式性质：（以合比性质证明为例）证明一：∵，证明二：∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．（3）利用比例的性质：（以等比性质证明为例）∵，∴（更比）．∴（合比）．∴（更比）．同理：．预备知识二：平行线分线段成比例定理ABCDEl1l2l3l4l5F我们提炼出这样的一个图形ABCDEABCDEl1l2l3l4l5已知：如图，△ABC中，DE∥BC，交AB、AC于D、E.ABCDE求证：.证明：连接CD、BE.27,∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，.∴又∵,.∴.请试着证明：ABCDEF已知：如图，DE∥BC，求证：.证明：过点E作EF//BD，交CB延长线于F∵四边形BDEF为平行四边形，∴DE=BF.，同理，.∴定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。abcABCDEFmn例4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）ABCDEA．7B．7.5C．8D．8.5例5、已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AD+EC=9，DB=4，AE=5，求AD的长.ABCDFE例6.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F,若EC=2BE，则的值是（）A.B.C.D.ABCDEFH例7.如图，点H在YABCD的边DC延长线上，连结AH分别交BC、BD于点E、F，求证：．三、图形的相似：1．相似图形：我们把这种形状相同的图形叫做相似图形．27,2．相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例．3．相似多边形的判定：两个边数相同的多边形对应角都相等，对应边成比例，同时满足上述条件的两个多边形相似．注：（1）相似图形不仅仅是平面图形、也包括立体图形，如两个球体、两个正方体；（2）教材举出的相似图形大小是不同的，而大小不同不是相似的本质属性，形状相同才是它的本质属性.教材中又指出图形的相似可以看成是一个图形的放大或缩小.这实际上，也是从变换的角度解释了相似的概念；（3）教材没有直接给出相似多边形的定义，而是直接研究它的特征，归纳出特征后，再给出它的判定方法，这也可以作为相似多边形的定义．四、典型例题：例8.用相似三角形定义判定特殊三角形的相似情况.（1）两个全等三角形一定相似.（2）两个直角三角形不一定相似.（3）两个等腰三角形不一定相似.（4）两个等腰直角三角形一定相似.（5）两个等边三角形一定相似.例9.用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况.（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似.如：矩形.（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似.如：菱形.（3）边数相同的正多边形都相似.如：正方形，正五边形.例10．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．27．2相似三角形27．2．1相似三角形的判定一、相似三角形的概念：1．相似三角形：三组对应角分别相等，三组对应边成比例的两个三角形相似．注：（1）如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应，这样比较容易找出对应角和对应边．（2）相似比带有顺序性：如：△ABC∽△A’B’C’的相似比为，反过来△A’B’C’∽△ABC的相似比为．（3）全等三角形是相似比为1的相似三角形，因此全等三角形是相似三角形的特殊情况．二、相似三角形的判定定理：（a）1．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.（b）1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．27,*当平行于三角形一边的直线和其他两边延长线相交时，所构成的三角形也和原三角形相似．2．如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．注：（1）三角形相似的判定与三角形全等的判定方法类似，可以通过弱化定义和类比全等判定两方面来研究、记忆、理解．相似三角形的判定也是从“边边边”的情况开始的．全等的判定相似的判定两角夹一边对应相等（ASA）两角一对边对应相等（AAS）两边及夹角对应相等（SAS）三边对应相等（SSS）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例（2）相似三角形判定定理的证明是在其中一个三角形内部构造一个与另一个三角形全等的三角形，利用前面的引理，证明这个三角形与它相似，在这里利用了相似的传递性．（3）“边边角”依然不成立．反例：如图，BD=BC，∠A=∠A，，但△ABD与△ABC不相似．三、基本图形：（1）“平行线型”的相似三角形（见上）.（2）“相交线型”的相似三角形（见上）.（3）“旋转型”的相似三角形（如图）.四、典型例题：例11.如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点且DE与BC不平行，当或或时，△ADE与△ABC相似.例12.能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是（）A、B、C、D、例13.如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A.B.C.D.例14.如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA=2∶3，EF=4，则CD的长为（）A．B．8C．10D．16例15.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC∶AB=.27,例16.如图，与中，交于．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．例17.如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．例18.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．ABCDPQ例19、如图，正方形ABCD中，点P在BC上，且BP=3PC，点Q是CD的中点.ABCP求证：△ADQ∽△AQP.例20、如图，在△ABC中，点P是AB上一点，且，（1）求证：△ACP∽△ABC；ABCDP（2）若AP=2PB,求BC：PC的值.例21、点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.（1）当AD、CD、BC满足什么关系时，△APD∽△PBC；（2）当△APD∽△PBC时，求∠APB的度数.ABCDE例22、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E为AD上一点，∠DAC=∠B，CD=CE，求证：△ACE∽△BAD.例23、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件①∠B＋∠DAC＝90°②∠B＝∠DAC③CD：AD＝AC：AB④AB2＝BD·BC⑤AD2=BD·CD其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有27,ABCDEF例24.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC中点，ED交AB延长线于点F.（1）求证：△BDF∽△DAF；（2）求证：.例25.如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F.(1)试说明△ABD≌△BCE；(2)△AEF与△ABE相似吗?说说你的理由；(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.27．2．2相似三角形的性质一、知识点：1．相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等．（2）对应高的比等于相似比；对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．（2）周长比等于相似比．（3）面积比等于相似比的平方．注意：本节课的关键词就是相似比.加深对相似比的认识和理解可以帮助我们更加灵活简便地分析和解决问题．二、典型例题：例26.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为___________;面积比是___________例27.如果两个相似图形的对应边长分别为2cm和6cm，且两个图形的面积之差为120cm2，则较大的图形的面积为_________.例28.如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A、B、C、1D、例29.在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，CD=AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若两个三角形相似，求DE的长.27．2．3相似三角形应用举例一、知识点：1．比例尺：表示图上距离比实际距离放大或缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离．27,2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应的高的比．3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉所成的角，物体越小或距离越远，视角越小；盲区：观察者看不到的区域；仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．4．会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度．如：测量旗杆的高度．BEFGH丁组方案平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法二、典型例题：例30.在比例尺为1:5000的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，长轴为6.646cm，短轴为5.928cm，则它们的实际长度分别为（）A.332.3m，296.4mB.330m，300mC.332.5m，296.5mD.332.3m，297.3m例31.如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为米.ABCD例32.如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．例33.如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)．例34.如图1，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝b，两灯柱之间的距离OO′＝m．27,（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）是否是定值？请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图2箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．3位似一、知识点：1．位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．（新教材）(位似图形定义一：如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.位似图形定义二：如果两个相似图形的每组对应顶点所在的直线都交于一点,且对应边平行或共线，那么这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.)注：位似变换是一种特殊的相似变换．对于位似图形，有外位似和内位似之分，外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外；内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上．2．位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形．（2）位似图形的每组对应点所在的直线都交于一点．（3）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．（4）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行．3．位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上或顶点，下面是位似中心不同的画法.4．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．27,5．利用位似将图形放大或缩小.二、典型例题：例35．已知：如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.例36.平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似例37．下图是几组三角形的组合图形，图①中，△AOB∽△DOC；图②中，△ABC∽△ADE；图③中，△ABC∽△ACD；图④中，△ACD∽△CBD.小Q说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是O和A.小R说：图③、④是位似变换，其位似中心是点D.请你观察一番，评判小Q，小R谁对谁错.AAAABBBBCCCDDDDEO①②③④C例38．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）ABCA．B．27,C．D．例39.如图，△ABC在方格纸中，（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；（3）计算△A′B′C′的面积S．总结：1．几种图形变换的相同点与不同点：平移、旋转与轴对称变换是一个几何图形运动到一个新的位置后，这个图形上任意两点的距离保持不变（即保距变换）；位似变换是一个几何图形在运动前、后的对应线段之比总为定值，而角的大小则不变（即保角变换）.2．四种变换的坐标表示：以点P(a,b)为例.（1）将点P向右平移m个单位得P/(a+m,b)；将点P向下平移m个单位得P/(a,b-m).（2）点P关于x轴的对称点P/(a,-b)；点P关于y轴的对称点P/(-a,b).（3）将点P绕坐标原点旋转180o后，得到点P/(-a,-b)，也叫P与P/关于原点中心对称.（4）将点P与原点的距离扩大到m倍，得到点P/(ma,mb)或(-ma,-mb).八专题举例（a）“一线三等角”例40．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A．1对　　B．2对　　　C．3对　　　　D．4对　例41、如图，△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°,O为BC中点，E在AB上，F在AC上，∠EOF=45°，设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数关系式；例42、在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点O、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，∠CPD=∠OAB，且=，求出这时点P的坐标。例43．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．27,（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．（b）分类讨论例44.一个钢筋三角架三长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允ABC··DE许有余料)作为另两边，则不同的截法有()A.一种B.两种C.三种D.四种例45．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B出发沿BA方向向点A运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发测AC方向向点C运动，设运动时间为t（单位：秒）.问t为何值时△ADE与△ABC相似？例46．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=时，ΔAED与N，M，C为顶点的三角形相似.例47．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）例48．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，AB=5，AC=4，过D做一条直线与另一边交于点E，且使截得的三角形与△ABC相似，求DE.例49．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与P重合，并且一条直角边经过点B，另一条直角边所在的直线交于点E.探究：（1）观察操作结果，你发现哪个三角形与△BPC相似？为什么？（2）当P点位于CD的中点时，（1）中两个相似三角形周长的比是多少？（C）等积式证明：例50：（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：；（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF27,分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN．ABCKDH例51．如图，AD是∠BAC的角平分线，交△ABC的边BC于点D，BH⊥AD，CK⊥AD，垂足分别为H、K，你能说明AB·DK=AC·DH吗？（d）求线段比值：例52．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1.(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值.图1图2图3例53．【2013顺义二模】如图，直线与线段相交于点,点和点在直线上，且.(1)如图1所示，当点与点重合时，且，请写出与的数量关系和位置关系；（2）将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，（1）中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值．27,（e）画相似三角形例54．在和中，，，．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．例55．已知：如图，ΔABC中，∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法，将ΔABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由).分法一分法二分法三分法一：分割后所得的四个三角形中，Δ≌Δ，RtΔ∽RtΔ.分法二：分割后所得的四个三角形中，Δ≌Δ，RtΔ∽RtΔ.分法三：分割后所得的四个三角形中，Δ≌Δ，RtΔ∽RtΔ.(f)动点问题：例56（2015·广东中山·4月调研）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．27,PQACBD例57.(2015•山东济南•模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，动点P从点D出发，以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒4个单位的速度向点D匀速运动，运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）连接CQ，当t为何值时CQ＝BC；（2）连接AP，BQ，若BQ⊥AP，求△ABP的面积；（3）求证PQ的中点在△ABD的一条中位线上．（g）相似与几何变换例58.（2014·云南昆明）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是_________cm.例59（2014·广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．例60.（2011年西城初三25题）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且≠90°），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥交边于点E，连接BE.（1）如图1，当边经过点B时，=°；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系.27,部分中考题链接1.（2014·滨州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=．2.（2015年浙江金华4分）如图，直线是一组等距离的平行线，过直线上的点A作两条射线，分别与直线，相交于点B，E，C，F.若BC=2，则EF的长是3.（2013·北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A.60mB.40mC.30mD.20m解答：B4.（2014·北京第10题）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．5.（2015年浙江衢州3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，，则“人字梯”的顶端离地面的高度是()A.B.C.D.6.（2014·安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）27,　A．B．C．D．7.（2015年浙江温州5分）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）.图乙中，，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为▲cm8.（2015年浙江丽水4分）如图，反比例函数的图象经过点（-1，），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与轴交于点P，连结BP.（1）的值为.（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是.9.（2014·滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．27,10.(2014·四川资阳)如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．（1）求证：△ABP≌△CBE；（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．①当=2时，求证：AP⊥BD；②当=n（n＞1）时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．11.（2015年浙江杭州12分）如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E（1）若，AE=2，求EC的长（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由12.（2014·北京第22题）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．27,小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的度数为，的长为．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长．13.(2015·北京市朝阳区·一模)阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为　．图1图3图2参考小昊思考问题的方法，解决问题：27,如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．（1）求的值；（2）若CD=2，则BP=．14.（2014·四川自贡）阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．15.（2015年浙江湖州10分）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点（1）初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)（2）类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记，且点D、E27,的运动速度相等，试用含m的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程).16.（2015年浙江台州14分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由.17.（2014·武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．27,27