第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课件（人教版八下）

17.2勾股定理的逆定理,新课导入提问这个命题的条件和结论分别是什么？命题1如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c.结论：a2+b2=c2．,如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？答案就藏在课本中，我们一起来看一看！思考,学习目标1.了解命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题.2.会判断一个命题的逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系.3.了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原命题的条件与结论的关系.4.学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形.,推进新课知识点1互逆命题据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗？,345三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．,画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).①2.5，6，6.5；②6，8，10；②4，7.5，8.5．探究,用量角器量一量，它们是什么三角形？提问直角三角形由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．,命题1如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．命题2如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．观察这两个命题有什么不同？题设结论结论题设,我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.小结,练习说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（1）内错角相等，两直线平行；成立（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等；不成立,说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.（3）对应角相等的两个三角形全等；不成立（4）角平分线上的点到角两边的距离相等；成立,知识点2勾股定理的逆定理命题2正确吗？如何证明呢？思考A'B'C'？三角形全等∠C是直角△ABC是直角三角形ABCabca,ABCabcA'B'C'a证明:画一个△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∵∠C'=90°，∴A'B'2=a2+b2=c2，∴A'B'=c.∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.∴∠C=∠C'=90°.BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.在△ABC和△A'B'C'中,小结勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．,例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．,解：(1)∵152+82=225+64=289，172=289，∴152+82=172.∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形．像15，17，8这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．,解：(2)∵132+142=169+196=365，152=225，∴132+142≠152.∴这个三角形不是直角三角形．,练习如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解：这三条线段组成的三角形是直角三角形.因为由a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.,知识点3用勾股定理的逆定理解决实际问题例2如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？,分析：1.求“海天”号的航向就是求的角度.∠22.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的角度即可.3.根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角.,解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°.∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.,练习A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？解：∵AB2+BC2＝122+52=144+25=169，AC2=132=169，所以AB2+BC2=AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.,随堂演练基础巩固1.下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长?为什么？(1)5，12，13(2)6，8，10(3)15，20，25√√√,2.写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假性.(1)如果两个角是直角，那么它们相等.(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(3)如果，那么a≥0.,解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.(3)如果a≥0，那么.真命题.,综合应用解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.5.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC的形状.当a=b时，△ABC为等腰三角形;当a≠b时，△ABC为直角三角形.,误区诊断在△ABC中，a:b:c=9:15:12，试判断△ABC是直角三角形.错解：依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k>0)，∵a2+b2=(9k)2+(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形.误区不能正确理解勾股定理的逆定理,错因分析：错在没有弄清楚哪条边是最长边的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误.正解：依题意知b是最长边，设a=9k，b=15k，c=12k(k>0)，∵a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2，b2=(15k)2=225k2，∴a2+c2=b2，△ABC是直角三角形.,课堂小结勾股定理的逆定理逆命题和逆定理勾股定理的逆定理勾股数,拓展延伸一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？,解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，在△BCD中，BD2+BC2=52+122=132=CD2.∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.,习题17.2复习巩固（1）（2）（3）是；（4）不是.1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:（1）a=7,b=24,c=25;（2）a=,b=4,c=5;（3）a=,b=1,c=;（4）a=40,b=50,c=60.,2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.,解：（1）这个命题的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；成立.（2）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那么它们都是直角”，不成立.（3）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形全等”；成立.（4）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”；不成立.,3.小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后是向哪个方向走的？解:小明的行走路线恰好构成三角形.因为602+802=3600+6400=10000=1002，所以这个三角形是直角三角形，因为小明向东走80m，因此小明又向北或南走60m.,4.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC.综合应用因为BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，所以BD2+AD2=AB2，所以△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.因此△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以AC=13.解：在△ABD中，BD=BC=5，AD=12，AB=13，,5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.,解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，在△BCD中，BD2+BC2=52+122=132=CD2.∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.,6.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD.求证∠AEF=90°.,证明：设CF=x，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.,7.我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.拓广探索因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.,（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.