第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课后习题（Word版附解析）

17.2　勾股定理的逆定理知能演练提升一、能力提升1.一个三角形的两边长分别为4和5,要使该三角形为直角三角形,则第三边长为(　　)A.3B.41C.41或3D.不确定2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(　　)A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为9∶25∶16C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶53.如图,若每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为(　　)A.90°B.60°C.45°D.30°4.下列说法错误的是(　　)A.任何命题都有逆命题B.任何定理都有逆定理C.真命题的逆命题不一定是真命题D.定理的逆定理一定是真命题5.若三角形的三边长分别等于2,6,2,则此三角形的面积为(　　)A.22B.2C.32D.36.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|+b-4+(c-5)2=0,则三角形是　　　　三角形.(填“直角”“钝角”或“锐角”) ★7.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个6×6的方格纸中,找出格点C,使△ABC是面积为1的直角三角形,点C的个数是　　　　　. 8.如图,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15,△ABC是等腰三角形吗?为什么?5 9.如图,小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水,最后沿第三方向走100m回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.二、创新应用★10.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从3起就没有间断过,计算12(9-1),12(9+1)与12(25-1),12(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能(用勾)表示7,24,25的股和弦的算式;(2)根据(1)的规律,用含n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明;(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含m(m为偶数,且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.5 5 知能演练·提升一、能力提升1.C　若5为最长边,则第三边长为52-42=3;若4和5都为直角边,则第三边长为52+42=41,故选C.2.D3.C　连接AC(图略).因为每个小正方形的边长都为1,所以AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以AB2=BC2+AC2,且BC=AC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.4.B5.B　由三边长可确定这是直角三角形,两直角边分别为2,2,所以三角形面积为12×2×2=2.6.直角　∵|a-3|+b-4+(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.7.6　如图,当∠A为直角时,满足面积为1的点是C1,C2;当∠B为直角时,满足面积为1的点是C3,C4;当∠C为直角时,满足面积为1的点是C5,C6,所以满足条件的点共有6个.8.解△ABC是等腰三角形.理由:在△ABD中,∵AB2=172=289,AD2=152=225,BD2=12×162=64,∴AB2=AD2+BD2.∴△ABD是直角三角形.∴AD⊥BC.∴△ADC为直角三角形.∴AC2=AD2+DC2=152+12×162=289.∴AB=AC.故△ABC是等腰三角形.9.解沿南偏东60°方向行走的.理由如下:∵AB=60m,BC=80m,AC=100m,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°.∵AD∥NM,∴∠NBA=∠BAD=30°.∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.二、创新应用10.解(1)∵12(9-1)=12(32-1)=4,12(9+1)=12(32+1)=5,12(25-1)=12(52-1)=12,12(25+1)=12(52+1)=13,∴7,24,25的股24的算式为12(49-1)=12(72-1),弦25的算式为12(49+1)=12(72+1).(2)当n为奇数且n≥3时,勾、股、弦的代数式分别为n,12(n2-1),12(n2+1).例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾2+股2=弦2.5 证明关系式①:弦-股=12(n2+1)-12(n2-1)=12[(n2+1)-(n2-1)]=1.证明关系式②:勾2+股2=n2+12(n2-1)2=n2+14n4-12n2+14=14n4+12n2+14=14(n2+1)2.∴猜想得证.(3)探索得:当m为偶数且m≥4时,股、弦的代数式分别为m22-1,m22+1.5