重庆市长寿中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

重庆市长寿中学校高一下•半期考试数学试题一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量，向量，若，则等于（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解.【详解】∵，，，∴，解得.故选：B.2.已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（）.A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的平移得到答案.【详解】把的图像向右平移个单位长度，得到的图像.故选：【点睛】本题考查了三角函数的平移，属于简单题. 3.已知锐角，满足，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，利用两角差的余弦公式求解.【详解】解：因为，是锐角，且，，所以，，所以，，，故选：A4.已知角终边过点，则的值为（）A.B.C.–D.–【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】由题意得，点到原点的距离，所以根据三角函数的定义可知，，所以.故选：A．5.若的内角，，所对的边分别为，，，∠，，则一定是A.底边和腰不相等的等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据题意，可知，由于，结合余弦定理得出，进而得出，即可得出的形状. 【详解】解：由题可知，∠，，则在中，，根据余弦定理得：，则，即，即：，所以，则，所以一定等边三角形.故选：D.【点睛】本题考查判断三角形的形状和余弦定理的应用，属于基础题.6.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把作为基底，利用向量的加减法法则和已知条件，把用基底表示即可【详解】解：因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，所以，所以.故选:C.7.如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理求出的正弦值，然后根据展开即可求解.【详解】解：如图所示，在中，，由余弦定理得，解得，又由正弦定理得，由知为锐角，所以，所以.故选：B．8.设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，，又，则.因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D.二､多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列结论正确是（）A.是第二象限角B.第三象限角集合为C.终边在轴上的角的集合为 D.若角为锐角，则角为钝角【答案】AC【解析】【分析】根据终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误.【详解】对于选项A：因为，且为第二象限角，所以是第二象限角，故A正确；对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误；对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确；对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角，例如，则为直角，故D错误；故选：AC.10.已知，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（）A.B.C.若，则D.若，则是等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】由结合诱导公式可判断选项A，B，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C，在三角形中若,则若或可判断选项D.【详解】由，则,故A正确.,故B不正确.由三角形中大角对大边，，则，根据正弦定理有,故C正确.在三角形中若,则若或.所以或,则是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.故选：AC【点睛】本题考查三角形中的三角变换，考查诱导公式，正弦定理，属于中档题. 11.已知函数，则（）A.是偶函数B.在区间单调递增C.的图像关于点对称D.的图像关于直线对称【答案】ACD【解析】【分析】对于A：先化简，再借助于为偶函数进行判断；对于B：利用复合函数单调性法则直接判断；对于C、D：利用代入法进行判断.【详解】对于A：.因为为偶函数，所以为偶函数.故A正确；对于B：当时，.因为在上递增，在上单减，所以在区间不单调.故B错误；对于C：因为，所以的图像关于点对称.故C正确；对于D：因为，所以的图像关于直线对称.故D正确；故选：ACD.12.给出下列命题，其中正确的选项有（）A.等边中，向量与向量的夹角为B.，，则向量在向量上的投影向量为C.非零向量满足，则与的夹角为D.若，，，为锐角，则实数的取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】由向量夹角定义知A正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B 正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C正确；由，根据为锐角可构造不等式组求得D错误.【详解】对于A，，为等边三角形，，A正确；对于B，，，在上的投影向量为，B正确；对于C，，以构成如图所示的等边三角形，其中，，，以为邻边作平行四边形，则，四边形为菱形，，又，平分，，C正确；对于D，，，，为锐角，，解得：且，D错误.故选：ABC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：__________.【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】.故答案为：.14.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式运算求解.【详解】设扇形的半径为，由题意可得，解得，所以扇形的周长为.故答案为：.15.在中，，，是的平分线，交于点，且，则的面积为_______.【答案】【解析】【分析】在中用正弦定理求得，从而有，是直角三角形，面积易求．【详解】在中，，∴，∴（三角形内角的一半），∴．，．故答案为：．【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理．属于中档题．16.已知△ABC中，A=60°，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA=OB=OC.设=λ+μ，则λ+μ的值为________.【答案】 【解析】【分析】由题意可知，为外接圆的圆心，在圆中，延长交于点，已知等式两边同乘以得：，同理得：，从而有：.【详解】由题意可知，为外接圆的圆心，设半径为，在圆中，过O作，，两边乘，，，得，同理两边乘，,，得，解得，，所以.故答案为：.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知，且在第三象限，（1）和；（2）.【答案】（1），（2） 【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式即可求得答案；（2）利用诱导公式化简，结合三角函数正余弦齐次式求值，可得答案.【小问1详解】已知，且在第三象限，所以，.【小问2详解】18.已知，与的夹角是.（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【小问1详解】∵，与夹角是，∴，；【小问2详解】由题意，， 即，解得，即时，.19.已知函数的部分图象如图.（1）求函数的解析式;（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据图象由函数最值求得，由函数周期求得，由特殊点求得，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得的解析式，再利用整体法求函数值域即可.【小问1详解】由图象可知，的最大值为，最小值为，又，故，周期，，，则，从而，代入点，得，则，，即，， 又，则..【小问2详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故可得；再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象故可得；，，，.20.已知外接圆的半径为，其内角的对边长分别为．若．（1）求角的大小．（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理可知：，将等式转化为，由余弦定理可求出角；（2）由条件利用正弦定理可求出，又角是钝角，可知角为锐角，从而求出，根据三角形内角和的关系，=，从而求出的值.【详解】 由知：，由，故为锐角，.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题.方法点睛：（1）用边化角或角化边将题干化简成统一形式，再用余弦定理或两角和与差的公式求角；（2）若题目中出现两边及其一边的对角，常用正弦定理求另一角，然后求其他量；（3）若出现两边以及第三边的对角，常用余弦定理求第三边，然后求其他量.21.已知在中，角的对边分别是，，，且．（1）求角；（2）若边长，求周长的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由，得，再利用余弦定理和三角函数恒等变换公式可求出角；（2）由余弦定理得，再利用基本不等式可求出，从而可求出周长的取值范围【详解】解：（1）∵，由正弦定理得， 即，，在中，，，，；（2）由余弦定理可得：，即，，，，当且仅当时取等号，又得，周长范围22.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式；（2）当时，求的单调递减区间；（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.【答案】（1）（2）单调递减区间为（3）， 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合其周期以及奇偶性求得参数，即得函数解析式；（2）根据正弦函数的单调性求得的单调递减区间，结合，即可求得答案；（3）根据三角函数图像的平移以及伸缩变换可得的表达式，将化简，结合正弦函数的图象，根据其对称性即可求得答案.【小问1详解】由题意得，因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，，又由为奇函数，可得，，此时为奇函数，符合题意，函数；【小问2详解】令，解得，则的单调递减区间为：，又，可得的单调递减区间为；【小问3详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则， 故，即，，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象：可得方程在区间有5个解，即，其中，即，，解得，