第二十二章二次函数小结与复习课件

第二十二章二次函数小结与复习 一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca≠0[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．1.二次函数的概念 二次函数y=a(x−h)2+ky=ax2+bx+c开口方向对称轴顶点坐标最值a＞0a＜0增减性a＞0a＜02.二次函数的图象与性质：a＞0时开口向上a＜0时开口向下x=h(h，k)y最小=ky最大=k在对称轴左边x↗y↗，在对称轴右边x↗y↘在对称轴左边x↗y↘，在对称轴右边x↗y↗y最小=y最大= 3.二次函数图象的平移y＝ax2左、右平移，自变量左加右减上、下平移，常数项上加下减y＝-ax2写成一般形式沿x轴翻折 4.二次函数解析式的求法（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 5.二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点一元二次方程ax2＋bx＋c=0的实数根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式(b2-4ac)有两个公共点有两个不同的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有公共点没有实数根b2-4ac＜0 6.二次函数的应用（1）二次函数的应用包括以下两个方面：①用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；②利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．（2）一般步骤：①找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；②列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③利用二次函数的图象及性质解决实际问题；④检验结果的合理性，是否符合实际意义． 考点一二次函数的概念、图象与性质例1已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为()A．−2B．2C．±2D．0B针对训练1.已知函数：①y=2x−1；②y=−2x2−1；③y=3x3−2x2；④y=2x2−x−1；⑤y=ax2+bx+c.其中二次函数的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4B 例2对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的是()A．顶点坐标为(－3，2)B．对称轴为y＝3C．当x＞3时，y随x的增大而增大D．当x＞3时，y随x的增大而减小C 2.关于抛物线y=−x2+2x−3的判断，下列说法正确的是()A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x=-1C．抛物线对称轴左侧部分从左往右是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是2针对训练D 方法归纳：解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x-h)2＋k的形式，得到其对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为y＝k；也可以直接利用公式求解. yx例3二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≤y2D．y1＞y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.B 3.已知点(−1，y1)，(1.5，y2)，(2，y3)在函数y=ax2−2ax+a−2(a＞0)的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是()A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1B针对训练 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为由题意知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线x=1的左侧.4.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A.b≥－1B.b≤－1C.b≥1D.b≤1DxyOb1∴b≤1.如图所示. 例4将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.B 5.若抛物线y=－7(x+4)2－1平移得到y=－7x2，则可以（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B针对训练 例5(1)已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10；当x=1时，函数值为4；当x=2时，函数值为7.求这个二次函数的解析式.待定系数法解：设所求的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得解得a=2，b=－3，c=5.∴所求的二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5. (2)已知关于x的二次函数，当x=−2或4时，y=−16，且函数的最大值为2．求二次函数的解析式．解：∵当x=−2或4时，y=−16，且函数的最大值为2.∴对称轴为直线.∴顶点为(1，2).设二次函数解析式为y=a(x−1)2+2，把(−2，−16)代入得−16=9a+2，解得a=−2.∴y=−2(x−1)2+2.∴二次函数解析式为y=−2x2+4x.顶点式 针对训练6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，−3)．(1)求二次函数的解析式；解：设二次函数解析式为y=a(x+1)(x−3)，将点(0，−3)代入，得−3=a(0+1)(0−3).解得a=1.∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3.交点式xyOCAB (2)点Q为抛物线上一点，若S△QAB=8，求出此时点Q的坐标．解：设Q(x，y)，则S△QAB=AB•|y|=2|y|=8.∴y=±4．解得则Q的坐标为②当y=-4时，即x2−2x−3=−4.解得x3=x4=1.则Q点的坐标为(1，−4).①当y=4时，即x2−2x−3=4.点Q的坐标为或(1，−4).xyOCAB综上所述， 例6已知二次函数y=x2−2mx+m2−1(m为常数).求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.考点二二次函数与一元二次方程解析：函数的图象与x轴总有两个公共点，即方程x2−2mx+m2−1=0有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可.证明：(−2m)2−4(m2−1)=4＞0，故不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则方程ax2+bx+c−2=0的根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．以上都不正确针对训练BxyO3 考点三二次函数的应用B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）例7在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点A 针对训练8.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为()C方法归纳：解决此类题目需运用建模思想，建立合适的平面直角坐标系，抽象出函数模型，解决相关问题. 例8某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数的解析式；解：根据题意，得故所求一次函数的解析式为y=-x+120.解得k=-1，b=120. (2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？解：W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900，∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大.而60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87.∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891. 9.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；针对训练解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，由图象的点的含义，得故所求一次函数的解析式为y=−x2+14x.解得a=−1，b=14. (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.(2)y=−x2+14x=−(x−7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49.(3)没有利润，即y=−x2+14x=0.解得x1=0(舍去)，或x2=14，而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损. 例9如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30.∴BF=2x-30. (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．(2)∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.所以S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=x2+60x-450.(3)S=x2+60x-450=(x-20)2+150.∵a=＜0，15＜20＜30，∴当x=20时，S有最大值，最大值为150. 10.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；25m针对训练解：(1)由题意得羊圈的长为25m，宽为(40-25)÷2=7.5(m).故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2) (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.(2)设羊圈与墙垂直的一边为xm，则与墙相对的一边长为(40-2x)m，羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200(7.5≤x＜20).∵7.5≤10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200.故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.25m 实际问题归纳抽象二次函数y=ax2+bx+c实际问题的答案利用二次函数的图象和性质求解图象目标性质 见教材章末练习