22.2 二次函数与一元二次方程课件

22.2二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数 情境引入问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？h=20t-5t2二次函数与一元二次方程的关系Oh/mt/s1513故当小球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：令15=20t-5t2，即t2-4t+3=0，解得t1=1，t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ (2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？Oh/mt/s202解：令20=20t-5t2，即t2-4t+4=0，解得t1=t2=2.故当球飞行2s时，它的高度为20m.h=20t-5t2 解：令20.5=20t-5t2，即t2-4t+4.1=0，因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解.即小球的飞行高度达不到20.5m.(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？Oh/mt/s你能结合图形指出为什么小球不能达到20.5m的高度吗?20.5h=20t-5t2 (4)小球从飞出到落地要用多少时间？Oh/mt/s令0=20t-5t2，即t2-4t=0，解得t1=0，t2=4.故当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.∴小球从飞出到落地要用4s时间.h=20t-5t2解：小球飞出时和落地时的高度都为0m， 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取确定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.为一个常数（确定值）如：y=5时，则5=ax2+bx+c(a≠0)就是一个一元二次方程. 所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x＋3=0）；反过来，解方程x2－4x＋3=0，又可以看作已知二次函数y=x2－4x＋3的值为0，求自变量x的值． 例1如图，小丁在某次扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x(单位：m)是铅球离初始位置的水平距离，y(单位：m)是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 解：题意得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？解：由题意得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m. 解：由题意得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. 思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.利用二次函数深入讨论一元二次方程 1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2-x+1y=x2-6x+9y=x2+x-20个1个2个x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0,x1=x2=3-2和1x2+x-2=0,x1=-2,x2=1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有公共点没有实数根b2-4ac＜0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系知识要点 例2已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).(1)求证：此抛物线与x轴总有公共点；证明：对于一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)，∵Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0一定有两个根.∴抛物线y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)与x轴总有公共点. 解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，∴x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.当正整数m=1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数.∴正整数m的值为1.例2已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).(2)若此抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 变式已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．(1)证明：∵a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个交点.(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3.解得a＝1. 分析：一元二次方程x²−2x−2=0的根就是抛物线y=x²−2x−2与x轴的公共点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.例3利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根(结果保留小数点后一位).利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 解：画出函数y=x²−2x−2的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在−1与0之间，另一个在2与3之间. 先求位于−1到0之间的根，由图象可估计这个根是−0.8或−0.7，利用计算器进行探索，见下表：x…−0.8−0.7…y…0.24−0.11…观察上表可以发现，当x分别取−0.8和−0.7时，对应的y由正变负，可见在−0.8与−0.7之间肯定有一个x使y=0，即有x2−2x−2=0的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=−0.8或x=−0.7都符合要求.但当x=−0.7时函数值更为接近0.故取x1≈−0.7.同理可得另一近似根为x2≈2.7. 一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根：(1)用描点法作二次函数的图象；(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值).(3)确定方程的近似解.由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.方法归纳 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5.又∵对称轴为x＝－1，∴＝－1.∴x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.例4已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为()A.x1≈－2.1，x2≈0.1B.x1≈－2.5，x2≈0.5C.x1≈－2.9，x2≈0.9D.x1≈－3，x2≈1B 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．方法总结 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是______________；不等式ax2+bx+c>0的解集是______________；不等式ax2+bx+c<0的解集是____________.3-1Oxyx1=−1，x2=3x<−1或x>3−1<x<3合作探究 拓广探索：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是______________；不等式ax2+bx+c<2的解集是____________.3−1Ox2(4，2)(−2，2)x1=−2，x2=4x<−2或x>4−2<x<4y−24 问题2：如果不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个公共点，坐标是；方程ax2+bx+c=0的根是.1(2，0)x1=x2=22Oxy 问题3：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c＜0的解集是什么？0解：(1)当a＞0时，ax2+bx+c＜0无解.(2)当a＜0时，ax2+bx+c＜0的解集是全体实数.Oxy xyO2Oxy-12xyOy=-x2+x+2试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：(1)①-x2+x+2=0；②-x2+x+2>0；③-x2+x+2<0.(2)①x2-4x+4=0；②x2-4x+4>0；③x2-4x+4<0.(3)①-x2+x-2=0；②-x2+x-2>0；③-x2+x-2<0.y=x2-4x+4y=-x2+x-2①x1=-1，x2=2③x＜-1或x＞2①x1=x2=2②x≠2③无解①无解②无解③x为全体实数②-1＜x＜2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点a＞0a＜0有两个公共点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)有一个公共点(x0，0)没有公共点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2；y＞0，x＜x1或x＞x2.y＞0，x1＜x＜x2；y＜0，x＜x1或x＞x2.y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解.y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.y＞0，所有实数；y＜0，无解.y＜0，全体实数；y＞0，无解.知识要点 可知方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x1的范围是（）A.3＜x1＜3.23B.3.23＜x1＜3.24C.3.24＜x1＜3.25D.3.25＜x1＜3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根据下列表格的对应值： 2.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限A3.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是()A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0D 4.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0有一个解x1=3，则另一个解x2=.-1yOx135.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2，x2=，那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是(-2，0)和(，0). 6.已知二次函数的图象，利用图象回答问题：(1)方程的解是什么？(2)x取什么值时，y＞0？(3)x取什么值时，y＜0？xyO248解：(1)x1=2，x2=4.(2)x＜2或x＞4.(3)2＜x＜4. 7.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1，是一次函数．∵直线y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3符合题意.当k≠3时，函数y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，∴Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，即k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4. 8.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面m，与篮框中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3m．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 解：(1)由题意可知，A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点.设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋4，将点A的坐标代入，可得a＝－，故y＝－(x－4)2＋4.当x＝7时，y＝－(7－4)2＋4＝3，∴点C(7，3)在该抛物线上．∴此球一定能投中. (2)此时，如果对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？解：将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽拦截能获得成功．y＝－(x－4)2＋4 Δ=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集x2x1xyOOx1=x2xyOyxΔ＞0Δ＝0Δ＜0x1，x2没有实数根x＜x1或x＞x2x≠x1的一切实数全体实数x1＜x＜x2无解无解x1=x2=