22.2 二次函数与一元二次方程导学案

第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.自主学习一、知识链接1.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程(a≠0)根的情况.2.写出二次函数的图象的顶点坐标、对称轴，并画出它的图象.然后观察图象，x为何值时，y=0？课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程的关系问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t－5t2，考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 典例精析例1如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x(单位：m)是铅球离初始位置的水平距离，y(单位：m)是铅球离地面的高度.(1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？(3)铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.y=ax2+bx+c(a≠0)y=Max2+bx+c=M探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1)y=x2+x－2；(2)y=x2－6x+9；(3)y=x2－x+1.要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2－4ac有两个公共点有两个不相等的实数根b2－4ac＞0有一个公共点有两个相等的实数根b2－4ac=0没有公共点没有实数根b2－4ac＜0例2已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个公共点；(2)若此抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．【变式题】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． 探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例3利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位).分析：一元二次方程x²－2x－2=0的根就是抛物线y=x²－2x－2与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.方法归纳:一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(1)用描点法作二次函数的图象；(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)；(3)确定方程的近似解.由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.例4已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)问题1函数y=ax2+bx+c的图象如图①，那么：方程ax2+bx+c=0的根是；不等式ax2+bx+c>0的解集是；不等式ax2+bx+c<0的解集是.图①图②拓广探索：函数y=ax2+bx+c的图象如图②，那么：方程ax2+bx+c=2的根是______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是___________；不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 问题2如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有个公共点，坐标是；方程ax2+bx+c=0的根是.问题3如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是什么？试一试：利用函数图象解下列方程和不等式.(1)①－x2+x+2=0；②－x2+x+2>0；③－x2+x+2<0.(2)①x2－4x+4=0；②x2－4x+4>0；③x2－4x+4<0.(3)①－x2+x－2=0；②－x2+x－2>0；③－x2+x－2<0.要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点a＞0a＜0有两个公共点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)y＜0，x1＜x＜x2；y＞0，x＞x2或x＜x1y＞0，x1＜x＜x2；y＜0，x＜x1或x＞x2.有一个公共点x0y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.没有公共点y＞0，所有实数；y＜0，无解y＜0，全体实数；y＞0，无解三、课堂小结判别式Δ=b2－4acΔ>0Δ＝0Δ＜0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2x1=x2＝-没有实数根不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集x<x1或x>x2x≠x1的一切实数所有实数不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1<x<x2无解无解 当堂检测1.根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c－0.06－0.020.030.09可知方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x1的范围是（）A.3＜x1＜3.23B.3.23＜x1＜3.24C.3.24＜x1＜3.25D.3.25＜x1＜3.262.若一元二次方程无实根，则抛物线的图象位于(　　)A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是(　　)A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠04.若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0有一个解x1=3，则另一个解x2=.5.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是.6.已知二次函数的图象，利用图象回答问题：(1)方程的解是什么？(2)x取什么值时，y>0？(3)x取什么值时，y<0？7.已知函数y＝(k-3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，求k的取值范围． 8.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？参考答案自主学习知识链接1.当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根.2.解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,则y=x2-2x-3的图象的顶点坐标为（1，-4），对称轴为直线x=1，画图略，当x=3或-1时，y=0.课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程的关系问题解：（1）令15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3.∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.（2）令20=20t-5t2,t2-4t+4=0，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）令20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0，因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.(4)令0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即小球从飞出到落地要用4s时间.典例精析例1解：（1）由抛物线的表达式得即x2-6x+5=0,解得x1=1，x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（2）由抛物线的表达式得即x2-6x+9=0，解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m. （3）由抛物线的表达式得即x2-6x+14=0，因为Δ=(-6)2-4×1×14＜0，所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程思考解：（1）y=x2－x+1的图象与x轴无交点，则相应的一元二次方程为x2－x+1=0无实数根.(1)y=x2－6x+9的图象与x轴有2个重合的点，交点的横坐标为3，则相应的一元二次方程为x2－6x+9=0，其根为x1=x2=3.(3)y=x2+x－2的图象与x轴有2个交点，交点的横坐标分别为-2，1，则相应的一元二次方程为x2+x－2=0，其根为x1=-2，x2=1.例2(1)证明：对于一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0(m≠0)∵Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0一定有两个根.∴抛物线y=mx2－(m＋2)x＋2=0与x轴总有公共点.(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1.【变式题】(1)证明：∵a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点.(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例3解：画出函数y=x²-2x-2的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7，利用计算器进行探索，见下表：x···-0.8-0.7···y···0.24-0.11···观察上表可以发现，当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x1≈-0.7.同理可得另一近似值为x2≈2.7.例4B探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)问题1x1=-1,x2=3x＜-1或x＞3-1＜x＜3拓广探索：x1=-2,x2=4x＜-2或x＞4-2＜x＜4 问题21（2，0）x1=x2=2问题30（1）当a>0时，ax2+bx+c<0无解;（2）当a＜0时，ax2+bx+c<0的解集是一切实数.试一试：解：（1）①x1=-1,x2=2②-1＜x＜2③x＜-1或x＞2（2）①x1=x2=2②x≠2的一切实数③x无解（3）①x无解②x无解③x为全体实数当堂检测1.C2.A3.D4.-15.（-2，0），6.解：（1）x1=2，x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2<x<4.7.解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵直线y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3符合题意；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，∴Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.8.解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A，B(4，4)，C(7，3).其中B是抛物线的顶点．设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋4，将点A的坐标代入，可得a＝－，故y＝－(x－4)2＋4.当x＝7时，y＝－(7－4)2＋4＝3，∴点C(7，3)在该抛物线上．∴此球一定能投中.（2）将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽拦截能获得成功．