第二十一章一元二次方程小结与复习课件

小结与复习第二十一章一元二次方程 本章知识结构框图一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)abc二次项系数一次项系数常数项一元二次方程概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程 根根的判别式Δ=b2−4acΔ>0,方程有两个不等的实数根Δ=0,方程有两个相等的实数根Δ<0,方程无实数根*根与系数的关系 解法因式分解法：直接开平方法：公式法：形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解配方法：若方程可变形为(mx+n)(px+q)=0(mp≠0)，则x1=，x2= 应用列一元二次方程解实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答几种常见类型传播问题单(双)循环问题平均变化率问题销售问题数字问题几何图形面积问题 考点一一元二次方程的定义例1若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠0解析本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项(二次项系数不为0)，因此它的系数m-1≠0.A1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.4-20针对训练 解析根据一元二次方程根的定义可知，将x=0代入原方程，左右两边相等，则有m2-1=0，解得m=±1.舍去1，应填-1.这种解题方法我们称之为“有根必代”.例2若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=.【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以m的值为1不符合其定义，应舍去，要引起注意.-1 针对训练2.(1)关于x的一元二次方程x2+px−2=0的一个根为2，则p的值为.(2)若x=−2是方程ax2+bx+3=0(a≠0)的一个解，则代数式1−8a+4b的值是．(3)若x=a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a3+2a+2023的值为________.−120227 【易错提示】(1)运用配方法应先将二次项系数化为1，(a-b)2与(a+b)2要准确区分；(2)求三角形的周长，不能盲目地将所得边长相加，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯.解析(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；(2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边长，进而求得三角形周长.考点二一元二次方程的解法例3(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易错题)三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　）A.13B.15C.18D.13或18AA 针对训练3.用适当的方法解方程：(1)x2−4x−1=0；配方法解：移项，得x2-4x=1.配方，得x2-4x+22=1+22，开平方，得(x-2)2=5.解得 (1)x2−4x−1=0；公式法即方程有两个不相等的实数根解：a=1，b=−4，c=−1.Δ=b2－4ac=(−4)2－4×1×(−1)=20＞0. (2)(2x−1)2=(3−x)2.解：2x−1=±(3-x)，即2x−1=3−x，或2x−1=−3+x.∴x1=，x2=−2.解：移项得(2x−1)2−(3−x)2=0.则(2x−1−3+x)(2x−1+3−x)=0，即3x−4=0，或x+2=0.∴x1=，x2=−2.直接开平方法因式分解法 拓展：解方程(x2−2x)2−5x2+10x+6=0．解：方程整理得(x2−2x)2−5(x2−2x)+6=0.设x2−2x=m，则原方程变为m2−5m+6=0.换元法解得m1=3，m2=2.当m=3时，x2−2x=3，解得x=3或x=−1；当m=2时，x2−2x=2，解得x=1±.综上所述，原方程的解为x1=3，x2=−1，x3=1+，x4=1−． 考点三一元二次方程的根的判别式的应用例4已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们准确确定a，b，c的值.解析根据方程根的情况可知，判别式Δ>0，即42-4×1×(-3m)=16+12m>0，解得. 4.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=05.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．D0针对训练 考点四一元二次方程的根与系数的关系例5已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m，n，则m2-mn+n2=．25解析由根与系数的关系可知m+n=4，mn=-3，故m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=16+9=25.【重要变形式】 针对训练解：(1)根据题意得Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0，解得m≤0.6.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根，且=12，求m的值.(2)根据题意得x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，故m的值是−2.∴(−2m)2−2(m2+m)=12，解得m1=−2，m2=3(不合题意，舍去).∵=12，∴(x1+x2)2−2x1x2=12. 考点五一元二次方程的应用例6某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）A．x(x+1)=1260B．2x(x+1)=1260C．x(x−1)=1260×2D．x(x−1)=1260针对训练D7.有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为．1+x+x(1+x)=121 例7新冠肺炎疫情期间，某餐馆老板小王每日为一线抗疫医护人员免费提供3000份盒饭，各省医务人员纷纷驰援武汉之后，小王连续两次增加盒饭数量后，每日提供5880份盒饭.求平均每次增加的盒饭数量的百分率.解：设平均每次增加的盒饭数量的百分率是x，根据题意得3000(1+x)2=5880解得x1=-2.4(舍去)，x2=0.4=40%.答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%. 例8某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件；而当销售价每上涨2元时，平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的销售价为x元，求每天的销售量；(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解析：本题为销售中的利润问题，设公司每天的销售价为x元.则其基本数量关系列表分析如下：单件利润(元)销售量(件)每天利润(元)正常销售涨价销售432x-2032-2(x-24)150其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.解：(1)32-(x-24)÷2×4=80-2x(件).(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150.解得x1=25，x2=35.∵x≤28，∴x=25，即销售价应当为25元.【易错提示】销售量是在正常销售的基础上减少.要注意验根.128 针对训练8.2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力某市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． (1)若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；即a的值是25.解：由题意得256(1+a%)2=400.解得a1=25，a2=−225(舍去).即2、3这两个月的月平均增长率为25%， (2)若农产品礼包成本为每包25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元．解：设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元．根据题意可得(40−25−m)(400+5m)=4620，解得m1=4，m2=−69(舍去). 例9某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的矩形空地建成一个花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口宽度相等，且每段小道为平行四边形)解：设小道进出口的宽为xm，根据题意得(30−2x)(20−x)=532，解得x1=1，x2=34.答：小道进出口的宽度应为1m.∵30−2x＞0，20−x＞0，∴x＜15.∴x=1. 解决有关图形面积问题时，除了掌握所学面积公式，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.（注：这里的横坚斜小路的的出入口宽度都相等）平移转化方法总结 实际问题设未知数，列方程一元二次方程ax2+bx+c=0实际问题的答案方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根解方程配方法公式法因式分解法降次检验 见教材章末练习