21.2.3 因式分解法课件

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.3因式分解法 我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！情境引入点击视频开始播放 因式分解法解一元二次方程引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x-4.9x2=0.① 解：解：a=4.9，b=-10，c=0.∴Δ=b2－4ac=(-10)2-4×4.9×0=100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.4.9x2-10x=0. 因式分解如果a·b=0，那么a=0或b=0.两个因式乘积为0，说明什么？或10-4.9x=0降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？10x-4.9x2=0①x(10-4.9x)=0②x=0，思考2解方程①时，二次方程是如何降为一次的？思考1除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？ 使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移——使方程的右边为0；二分——将方程的左边因式分解；三化——将方程化为两个一元一次方程；四解——写出方程的两个解.简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 试一试：下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；解：(1)x1=0，x2=2.(2)(y+2)(y-3)=0；(2)y1=-2，y2=3.(3)(3x+6)(2x-4)=0；(3)x1=-2，x2=2.(4)x2=x.(4)x1=0，x2=1. 例1解下列方程：解：(1)因式分解，得∴x-2=0，或x＋1=0.解得x1=2，x2=-1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得(2x＋1)(2x-1)=0.解得∴2x＋1=0，或2x-1=0.(x-2)(x＋1)=0.典例精析 练一练解下列方程：(1)(x+1)2=5x+5；即x1=−1，x2=4．(2)x2−6x+9=(5−2x)2．解：∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2-5(x+1)=0.则(x+1)(x−4)=0.∴x+1=0，或x−4=0，解：方程整理得(x−3)2−(5−2x)2=0，则[(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0，∴2−x=0，或3x−8=0，即x1=2，x2=.即(2−x)(3x−8)=0. 十字相乘法拓展提升(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a，b均为常数)两个一次二项式相乘的积一个二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个二次三项式两个一次二项式相乘的积因式分解如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.试一试解方程：x2+6x-7=0.解：因式分解得(x+7)(x−1)=0.∴x+7=0，或x−1=0.∴x1=−7，x2=1.·× 练一练解下列方程：(1)x2−5x+6=0；解：分解因式，得(x−2)(x−3)=0，(2)x2+4x−5=0；解：分解因式，得(x+5)(x−1)=0，解得x1=2，x2=3.解得x1=−5，x2=1．·×·× (3)(x+3)(x−1)=5；解：整理得x2+2x−8=0，(4)2x2−7x+3=0.解：分解因式，得(2x−1)(x−3)=0，解得x1=−4，x2=2.分解因式，得(x+4)(x−2)=0，解得x1=，x2=3. 例2用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2=1；分析：该式左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快.解：变形得(3x-5)(x+5)=0.即3x-5=0，或x+5=0.解得分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.解：开平方，得5x+1=±1.解得x1=0，x2=灵活选用适当的方法解方程 (3)x2-12x=4；(4)3x2=4x+1.分析：二次项系数为1，可用配方法解较快.解：配方，得x2-12x+62=4+62，即(x-6)2=40.开平方，得解得x1=，x2=分析：二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.解：整理成一般形式，得3x2-4x-1=0.∵Δ=b2-4ac=28>0， 1.一般地，当一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；3.化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法.系数含根式时也可选公式法.要点归纳一元二次方程的解法选择基本思路 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.拓展提升一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0(p2-4q≥0)(ax+m)2=n(a≠0，n≥0)ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)(ax+m)(bx+n)=0(ab≠0) 1.填空：①x2-3x+1=0；②3x2-1=0；③-3t2+t=0；④x2-4x=2；⑤2x2=x；⑥5(m+2)2=8；⑦3y2-y-1=0；⑧2x2+4x=1；⑨(x-2)2=2(x-2).最适合运用直接开平方法：；最适合运用因式分解法：；最适合运用公式法：；最适合运用配方法：.⑥①③⑤⑦⑧⑨②④ 2.解方程：x2-3x-10=18.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解：原方程化为(x-5)(x+2)=18.①由x-5=3，得x=8；②由x+2=6，得x=4.③∴原方程的解为x1=8或x2=4.④3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，解得x1=，x2=.x2+x-2=0-21解：原方程化为x2-3x-28=0，(x-7)(x+4)=0，x1=7，x2=-4. 解：化为一般式为因式分解，得x2-2x+1=0.(x-1)2=0.∴x-1=0.解得x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x-11)=0.∴2x+11=0或2x-11=0.4.解方程：解得 (4)x2+4x−2=2x+3；(3)2x2−5x+1=0；解：a=2，b=−5，c=1.∴Δ=(−5)2−4×2×1=17.解：整理，得x2+2x=5，∴x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6. (5)(3m+2)2−7(3m+2)+10=0．解法一：解：方程整理得m2-m=0.分解因式，得m(m-1)=0.解得m1=0，m2=1.解法二：解：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.∴3m+2-2=0，或3m+2-5=0，解得m1=0，m2=1.将(3m+2)看作一个整体，进行因式分解 5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r，根据题意得π(r+5)2=2πr2.因式分解，得于是得答：小圆形场地的半径是解得(舍去). 挑战自我(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2−13x+40=0的根，则此三角形的周长为_____；(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2−5x+6=0的根，则此三角形的周长是_________；(3)已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2−7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是______.11或121312与三角形结合时，要考虑三角形的三边关系！ 因式分解法形式步骤简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0原理将方程左边因式分解，使右边为0因式分解的常见方法有ma+mb=m(a+b)；a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).