21.2.3 因式分解法导学案

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法学习目标：1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.重点：会运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.自主学习一、知识链接1.用公式法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.用学过的方法解一元二次方程(x－3)(x－5)=0.课堂探究二、要点探究探究点1：因式分解法解一元二次方程引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?用配方法和公式法解方程10x－4.9x2=0①？思考1除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？思考2解方程10x－4.9x2时，二次方程是如何降为一次的？要点归纳：因式分解法的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法的基本步骤：一移——；二分——；三化——；四解——.简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 试一试下列各方程的根分别是多少？(1)x(x－2)=0；(2)(y+2)(y－3)=0；(3)(3x+6)(2x－4)=0；(4)x2=x.典例精析例1解下列方程：(1)；(2)练一练解下列方程：(1)(x+1)2=5x+5；(2)x2-6x+9=(5-2x)2．拓展提升：十字相乘法整式的乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab两个一次二项式相乘的积一个二次三项式反过来，得总结：=_______________.解：分解因式得_____________=0,∴__________=0，或_________=0.∴x1=_______,x2=____________.试一试解方程x2+6x-7=0.x2+6x-7xx7-1-x+7x=6x步骤：①竖分与；②交叉，积；③确定，因式.简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 练一练解下列方程：(1)x2-5x+6=0；(2)x2+4x-5=0；(3)(x+3)(x-1)=5；(4)2x2-7x+3=0.探究点2：灵活选用适当的方法解方程例2用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2=1；(3)x2－12x=4；(4)3x2=4x+1.要点归纳：解法选择基本思路:1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；3.化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法.系数含根式时也可选公式法.拓展提升填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解三、课堂小结 当堂检测1.填空.①x2－3x+1=0；②3x2－1=0；③－3t2+t=0；④x2－4x=2；⑤2x2=x；⑥5(m+2)2=8；⑦3y2－y－1=0；⑧2x2+4x－1=0；⑨(x－2)2=2(x－2).最适合运用直接开平方法；最适合运用因式分解法；最适合运用公式法；最适合运用配方法.2.解方程：x2-3x-10=18.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解：原方程化为：(x－5)(x+2)=3×6.①由x－5=3，得x=8；②由x+2=6，得x=4；③所以原方程的解为x1=8或x2=4.3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=，x2=.4.解方程.(1)；(2)；(3)2x2-5x+1=0；(4)x2+4x-2=2x+3；(5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0．5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.挑战自我(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________；(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________；(3)已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.参考答案 自主学习一、知识链接1.①变形：化已知方程为一般形式；②确定系数：用a，b，c写出各项系数；③计算：b2－4ac的值；④判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.2.解：方程整理得x2-8x+15=0，配方得x2-8x+16=1,即（x-4）2=1.开平方，得x-4=1，或x-4=-1,解得x1=5，x2=3.课堂探究二、要点探究探究点1：因式分解法解一元二次方程问题1：解：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.解：公式法解方程10x-4.9x2=0.解：方程可化为4.9x2-10x=0,∵a=4.9，b=-10，c=0，∴b2-4ac=(-10)2-4×4.9×0=100.思考1有思考2将方程10x－4.9x2=0的左边进行因式分解，根据如果a·b=0，那么a=0或b=0.将方程降次转化为两个一次方程.因式分解法的基本步骤：一移——使方程的右边为0；二分——将方程的左边因式分解；三化——将方程化为两个一元一次方程；四解——写出方程的两个解.试一试解：(1)x1=0，x2=2；（2）y1=-2，y2=3；(3)x1=-2，x2=2；(4)x1=0，x2=1.典例精析例1解：(1)因式分解，得(x－2)(x＋1)=0.∴x－2＝0或x＋1=0,解得x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得4x2－1=0,因式分解，得(2x＋1)(2x－1)=0.∴2x＋1=0或2x－1=0，解得练一练解：(1)∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0，或x-4=0，即x1=4，x2=-1． (2)方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，(2−x)(3x−8)=0，∴2-x=0，或3x-8=0，拓展提升：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)因式分解一个二次三项式两个一次二项式相乘的积总结：如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.试一试（x+7）(x-1)（x+7）(x-1)x+7x-1-71步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式练一练解：（1）分解因式，得(x-2)(x-3)=0，解得x1=2，x2=3；（2）分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解得x1=-5，x2=1；（3）整理得x2+2x-8=0，分解因式，得(x+4)(x-2)=0，解得x1=-4，x2=2；（4）解：分解因式，得(2x-1)(x-3)=0，解得探究点2：灵活选用方法解方程例2解：（1）化简(3x-5)(x+5)=0.即3x-5=0或x+5=0.（2）开平方,得5x+1=±1.（3）配方，得x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.开平方，得（4）解：化为一般形式3x2-4x-1=0.∵Δ=b2-4ac=28>0,.填一填从上到下，(ax+m)2=n(a≠0，n≥0)x2+px+q=0(p2-4q≥0)ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)(ax+m)(bx+n)=0(ab≠0) 当堂检测1.②⑥③⑤⑨①⑦⑧④2.解:原方程化为：x2－3x－28=0，(x－7)(x+4)=0，x1=7，x2=－4.3.x2+x－2=0；-2；14.解：（1）化为一般式为x2－2x+1=0.因式分解，得(x－1)2=0.有x－1=0，x1=x2=1.（2）因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x－11=0，（3）a=2，b=-5，c=1，∴Δ=(-5)2-4×2×1=17．（4）整理，得x2+2x=5，∴x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，（5）解法一：方程整理得9m2-9m=0.分解因式，得9m(m-1)=0.解得m1=0，m2=1．解法二：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.∴3m+2-2=0，或3m+2-5=0，解得m1=0，m2=1．5.解：设小圆形场地的半径为r，根据题意(r+5)2×π=2πr2.因式分解，得于是得（舍去）.答：小圆形场地的半径为挑战自我（1）11或12（2）13（3）12