21.2.2 公式法导学案

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法学习目标：1.了解求根公式的推导过程.2.掌握用公式法解一元二次方程.3.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.重点：掌握用公式法解一元二次方程.难点：了解求根公式的推导过程.自主学习一、知识链接如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?想一想任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？课堂探究二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究用配方法解一般形式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).解：移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=，配方，得x2+x+()2=()2，即(x+)2=①.问题对于方程①接下来能直接开平方解吗？ 探究点2：一元二次方程根的判别式我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.判别式的情况根的情况练一练按要求完成下列表格.Δ的值根的情况典例精析例1已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2不解方程，判断下列方程的根的情况.(1)3x2+4x－3=0；(2)4x2=12x－9；(3)7y=5(y2+1).方法归纳：判断一元二次方程根的情况的方法：例3若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不等的实数根，则q的取值范围是()A.q≤4B.q≤4C.q<16D.q>16【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是()A.k>－1B.k>－1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0归纳：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥－1B.k≥－1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0 探究点3：用公式法解方程由上可知，当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.注意：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式,然后当Δ=b2－4ac≥0时,才可以用求根公式.典例精析例4用公式法解下列方程：(1)x2－4x－7=0；(2)2x2－+1=0；(2)5x2－3x=x+1；(4)x2+17=8x.要点归纳：公式法解方程的步骤：1.变形：化已知方程为一般形式；2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2－4ac的值；4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac<0，则方程没有实数根.三、课堂小结公式法内容根的判别式Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（b2－4ac值）；四判（方程根的情况）；五代（代求根公式计算）判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根情况的方法：Δ=b2－4ac>0有两个不等的实数根Δ=b2－4ac=0有两个相等的实数根Δ=b2－4ac＜0没有实数根 当堂检测1.不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x－4=0；(2)x2－x+=0；(3)x2－x+1=0.2.解方程：x2+7x–18=0.3.解方程：(x－2)(1－3x)=6.4.解方程：2x2－x+3=0.5.（1）关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是；（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.6.不解方程，判别关于x的方程的根的情况.能力提升在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.参考答案自主学习一、知识链接解：方程整理得配方，得.开平方，得，∴.课堂探究二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究问题：不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况. 探究点2：一元二次方程根的判别式两个不相等实数根两个相等实数根没有实数根两个实数根练一练从左到右，从上往下依次为0，，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不等的实数根典例精析例1B解析：原方程变形为x2+x－1=0，a=1，b=1，c=－1，∵Δ=b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不等的实数根，故选B.例2解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴Δ=b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不等的实数根．（2）方程化为：4x2－12x+9=0，a=4，b=−12，c=9，∴Δ=b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．（3）方程化为：5y2－7y+5=0，a=5，b=−7，c=5，∴Δ=b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：方程整理为一般形式ax2+bx+c=0Δ=b2－4ac>0，有两个不等的实数根Δ=b2－4ac=0，有两个相等的实数根Δ=b2－4ac＜0，没有实数根例3C解析：方程有两个不等的实数根，由根的判别式知，则Δ=b2－4ac>0，即82－4q>0.解得q＜16，故选C.【变式题】B解析：方程有两个不等的实数根，则Δ=b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次项系数不为0，即k≠0.可得k>－1且k≠0，故选B.【变式题】A思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论.探究点3：用公式法解方程例4解：(1)a=1，b=－4，c=－7，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不等的实数根即.(2)a=2，b=，c=1，Δ=b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即.(3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不等的实数根即.(4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.当堂检测1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，Δ=b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不等的实数根.(2)a=1，b=－1，c=，Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×=0.方程有两个相等的实数根. (3)a=1，b=－1，c=1，Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.2.解：这里a=1，b=7，c=－18，Δ=b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.∴.3.解：去括号，得x－2－3x2+6x=6，化为一般式为3x2－7x+8=0，这里a=3，b=－7，c=8，Δ=b2－4ac=(－7)2–4×3×8=49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.4.这里a=2，b=，c=3，Δ=b2－4ac=()2－4×2×3=3＞0.∴.5.(1)m≤1.(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m－1≠0，解得且m≠1.6.解：，∵，∴，即∴方程有两个实数根.能力提升解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，∴Δ=(b+2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.解得b1=－10（舍去），b2=2.由三角形的三边关系，得c=5，∴△ABC的三边长为2，5，5，其周长为2+5+5=12.