21.2.2 公式法课件

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.2公式法 复习引入解：方程整理得配方得开平方得解得1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0? 想一想任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出它的解呢？ 合作探究用配方法解一般形式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).方程两边都除以a，得解：移项，得配方，得即问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？求根公式的推导 ∵a≠0，∴4a2>0.而b2－4ac的符号有以下三种情况：（1）b2－4ac＞0，这时＞0，由①得则方程有两个不相等的实数根 （2）b2-4ac=0，这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根x1=x2=-.（3）b2-4ac＜0，这时＜0，由①可知＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根. 两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根两个实数根判别式的情况根的情况我们把b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2−4ac.Δ>0Δ=0Δ<0Δ≥0一元二次方程根的判别式 按要求完成下列表格：练一练的值04根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根Δ 例1已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析：原方程即x2+x−1=0，a=1，b=1，c=−1，∵Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=5＞0，∴该方程有两个不等的实数根，故选B.B典例精析 例2不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）3x2+4x−3=0；（2）4x2=12x−9；解：（1）a=3，b=4，c=−3，∴Δ=b2−4ac=42−4×3×(−3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为4x2−12x+9=0，a=4，b=−12，c=9，∴Δ=b2−4ac=(−12)2−4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根． （3）7y=5(y2+1).解：方程化为5y2−7y+5=0，a=5，b=−7，c=5，∴Δ=b2－4ac=(−7)2－4×5×5=−51＜0.∴方程没有实数根．方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：将方程整理为一般形式ax2+bx+c=0Δ=b2−4ac>0Δ=b2−4ac=0Δ=b2−4ac<0有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根 例3若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不等的实数根，则q的取值范围是()A.q≤4B.q≥4C.q＜16D.q＞16C解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，则Δ=b2−4ac＞0，即82−4q＞0.解得q＜16，故选C.典例精析 【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是()A.k>−1B.k>−1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0B(-2)2+4k>0当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围.归纳方程有两个不等的实数根分析：二次项系数不为0k≠0k>−1且k≠0 【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2−2x−1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥−1B.k≥−1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0分析：分类讨论k=0k≠0原方程变形为−2x−1=0，有实数根Δ=4+4k≥0k≥−1A 由上可知，当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b2-4ac≥0时，才可以用求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解方程 视频：求根公式的趣味记忆点击视频开始播放← 例4用公式法解下列方程：典例精析(1)x2−4x−7=0；方程有两个不等的实数根解：a=1，b=−4，c=−7.Δ=b2－4ac=(−4)2－4×1×(−7)=44＞0.即 方程有两个相等的实数根x1=x2(2)2x2−x+1=0；解：a=2，b=−，c=1.Δ=b2－4ac=(−)2－4×2×1=0. (3)5x2－3x=x+1；方程有两个不等的实数根即a=5，b=－4，c=－1.Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.解：方程化为5x2－4x－1=0. (4)x2+17=8x.方程没有实数根.a=1，b=−8，c=17.Δ=b2−4ac=(−8)2−4×1×17=−4＜0.解：方程化为x2－8x+17=0. 要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2−4ac的值；4.判断：若Δ=b2−4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2−4ac＜0，则方程没有实数根. 1.不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2+3x−4=0；（2）x2−x+=0；解：（1）a=2，b=3，c=−4，∴Δ=b2−4ac=32−4×2×(−4)=41＞0.∴方程有两个不等的实数根．（2）a=1，b=−1，c=，∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×=0.∴方程有两个相等的实数根． 解：x2−x+1=0，a=1，b=−1，c=1，∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×1=−3<0.∴方程无实数根．（3）x2−x+1=0. 2.解方程：x2+7x–18=0.解：a=1，b=7，c=−18，∴Δ=b2-4ac=72–4×1×(−18)=121>0，即x1=−9，x2=2. 3.解方程：(x-2)(1-3x)=6.解：去括号，得x-2-3x2+6x=6，化为一般式，得3x2-7x+8=0，a=3，b=-7，c=8，∴Δ=b2-4ac=(-7)2–4×3×8=49–96=-47<0，∴原方程没有实数根. 4.解方程：2x2-x+3=0.解：a=2，b=−，c=3.∴Δ=b2-4ac=27-4×2×3=3>0， 5.(1)关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是.(2)若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.解：化为一般式，得(m−1)x2−2mx+m−2=0．Δ=4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m−1≠0.解得且m≠1. 6.不解方程，判断关于x的方程的根的情况.解：∴原方程有两个实数根．Δ＝(k)2−4×1×k2=4k2.∵k2≥0，∴4k2≥0，即Δ≥0. 能力提升：在等腰△ABC中，三边长分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6−b=0有两个相等的实数根，∴Δ=(b+2)2−4(6−b)=b2+8b−20=0.解得b1=−10（舍去），b2=2.由三角形的三边关系，得c=5，∴△ABC的三边长为5，2，5，其周长为5+2+5=12. 公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（求b2-4ac的值）；四判（方程根的情况）；五代（代求根公式计算）务必将方程化为一般形式 判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根情况的方法：Δ=b2−4ac>0Δ=b2−4ac=0Δ=b2−4ac＜0有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根