21.1 一元二次方程课件

21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程 情景引入雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？ 在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，假设如图所示的雕像高AB为2m，下部BC=xm，请列出方程.ACB解：列方程得整理得x2+2x-4=0．①x2=2(2-x)，想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？xm(2-x)m等量关系：AC∶BC=BC∶AB即BC2=AB•AC 问题1有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？100cm50cm3600cm2一元二次方程的概念 解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100−2x)cm，宽为(50−2x)cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得化简，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？100cm50cm3600cm2x 问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据题意，列方程：化简，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？③ 观察与思考方程①②③有什么共同点？(1)方程的两边都是整式；(2)都只含一个未知数；(3)未知数的最高次数都是2.x2-75x＋350=0②x2+2x-4=0①x2-x=56③ 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.知识要点一元二次方程的概念ax2+bx+c=0(a≠0).ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.一元二次方程的一般形式是 视频：一元二次方程一般式点击视频开始播放 想一想：为什么一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0？b，c可以为0吗？当a=0时，bx＋c=0，当a≠0，b=0时，ax2＋c=0，当a≠0，c=0时，ax2＋bx=0，当a≠0，b=c=0时，ax2=0，总结：只要满足a≠0即可，b，c可以为任意实数.不符合定义；符合定义；符合定义；符合定义． 典例精析例1下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简为x2-3x+2=0化简为4x2-1=4x2+12x+9判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.提示 判断下列方程是否为一元二次方程：(2)x3+x2=36；(3)x+3y=36；(5)x+1=0；××××××(1)x2+x=36；注意：未限定a≠0 例2a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？(1)ax2－x=2x2；(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)将方程整理，得(a-2)x2-x=0，所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.(2)由|a|+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是关于x的一元二次方程.方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于0的参数值即可得解． 变式已知方程(2a－4)x2−2bx+a=0.（1）在什么条件下此方程为关于x的一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为关于x的一元一次方程？解：(1)当2a−4≠0，即a≠2时，是关于x的一元二次方程.(2)当a=2且b≠0时，是关于x的一元一次方程. 一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)都是整式方程，且只含有一个未知数未知数次数只能是1未知数的最高次数是2 例3将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2，系数是3；一次项是-8x，系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意 一元二次方程的根的定义使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.试一试：下面哪些数是方程x2–x–6=0的根?–4，–3，–2，–1，0，1，2，3，4x–4–3–2–101234x2–x–61460–4–6–6–406一元二次方程的根 例4已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0.方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. 变式已知a是方程x2+2x-2=0的一个实数根，求2a2+4a+2022的值.解：由题意得方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应为多少呢？3220建立一元二次方程模型 1.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是_____m2，纵向小路的面积是m2，两者重叠的面积是m2.思考：32x2×20x2x22.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程，可得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570，x2－36x＋35=0.3220x 322032-2x20-x想一想：还有其它的列法吗？试说明理由.(20－x)(32－2x)=570.整理以上方程，可得x2－36x＋35=0. 审建立一元二次方程模型的一般步骤设找列审题，弄清已知量与未知量之间的关系设未知数找出等量关系根据等量关系列方程 1.下列哪些是一元二次方程？是不是是不是不是是3x+2=5x-2；x2=0；(x+3)(2x-4)=x2；3y2=(3y+1)(y-2)；x2=x3+x2-1；3x2=5x-1. 2.填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-2 3.关于x的方程(k2−1)x2＋2(k−1)x＋2k＋2＝0，当k时，是一元二次方程；当k时，是一元一次方程．≠±1＝−1 4.(1)已知方程5x²+mx−6=0的一个根为4，则m的值为；(2)若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2－4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程得m2−4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠−2.综上可知m=2._____ 5.(1)如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；解：由于圆的半径为xcm，故其面积为3x2cm2.整理，得根据题意，得200cm150cm (2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.整理，得根据题意，得 拓广探索：6.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1，求a+b+c的值.解：由题意得思考：(1)若a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根是1.(2)若a-b+c=0，且4a+2b+c=0，你能通过观察，写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根吗?x1=-1，x2=2. 一元二次方程概念等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)其中a≠0是一元二次方程的必要条件根(解)使方程左右两边相等的未知数的值建立一元二次方程模型审→设→找→列