21.1 一元二次方程导学案

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.自主学习一、知识链接1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？2.下面式子哪些是方程？2+6=8；2x+3；5x+6=22；x+3y=8；x-5<18；.3.在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2m，下部BC=xm，请列出方程.课堂探究二、要点探究探究点1：一元二次方程的概念问题1有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?观察与思考：上述方程有什么共同点？知识要点：一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).ax2是，a是；bx是，b是；c是.想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0？b、c可以为0吗？方法总结：只要满足a≠0即可，b、c可以为.典例精析例1下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x=36；(2)x3+x2=36；(3)x+3y=36；(5)x+1=0；(7)ax2+bx+c=0； (2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.(1)ax2－x=2x2；例2a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于0的参数值即可得解．【变式题】方程(2a－4)x2－2bx+a=0，（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？思考：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：1.相同点：；2.不同点：.例3将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.注意：系数和项均包含前面的符号.探究点2：一元二次方程的根一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.试一试：下面哪些数是方程x2–x–6=0的解?-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4x–4–3–2–101234x2 – x – 6 例4已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.【变式题】已知a是方程x2+2x－2=0的一个实数根，求2a2+4a+2022的值.方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.探究点3：建立一元二次方程模型问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应为多少呢？思考：1.若设小路的宽是xm，则横向小路面积是m2，纵向小路的面积是m2两者重叠的面积是m2.2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？想一想：还有其它的列法吗？试说明理由. 三、课堂小结一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件.一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值.建立一元二次方程模型审→设→找→列当堂检测1.下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2；x2=0；(x+3)(2x–4)=x2；3y2=(3y+1)(y–2)；x2=x3+x2–1；3x2=5x–1.2.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项x2+3x=23y2+1=2y4x2=5(2–x)(3x+4)=33.关于x的方程(k2–1)x2＋2(k–1)x＋2k＋2＝0，当k　时，是一元二次方程；当k　时，是一元一次方程.4.（1）已知方程5x2+mx–6=0的一个根为4，则m的值为；（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2–4=0，有一个根为0，求m的值.5.(1)如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）； (2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.拓广探索6.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根为1，求a+b+c的值.思考：（1）若a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?（2）若a–b+c=0，4a+2b+c=0，你能通过观察，写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗? 参考答案自主学习一、知识链接1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③是整式方程.2.5x+6=22，x+3y=8，.3.解：列方程得x2=2(2－x)，整理，得x2+2x－4=0．课堂探究二、要点探究探究点1：一元二次方程的概念问题1解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x+350=0.问题2解：根据题意，列方程：化简，得观察与思考共同点：①方程的两边都是整式；②都只含一个未知数；③未知数的最高次数都是2.知识要点等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.想一想当a=0时，bx＋c=0，不符合定义；当a≠0，b=0时，ax2＋c=0，符合定义；当a≠0，c=0时，ax2＋bx=0，符合定义；当a≠0，b=c=0时，ax2=0，符合定义．典例精析例1C判断（1）对（2）错（3）错（4）错（5）错（6）对（7）错（8）错例2解：(1)将方程整理，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|+1=2，且a－1≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.变式解：（1）当2a－4≠0，即a≠2时，是一元二次方程；（2）当a=2且b≠0时，是一元一次方程．思考：相同点：都是整式方程，且只含有一个未知数不同点：一元一次方程：未知数最高次数是1一元二次方程：未知数最高次数是2例3解：去括号，得：3x2－3x=5x+10.移项、合并同类项，得该方程的一般形式为3x2－8x－10=0.其中二次项是3x2，系数是3；一次项是－8x，系数是－8；常数项是－10.探究点2：一元二次方程的根问题1 x－4－3－2－101234x2 – x – 61460－4－6－6－406所以x=－2，x=3是方程x2–x–6=0的解.例4解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，.变式题解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.∴2a2+4a+2022=2(a2+2a)+2022=2×2+2018=2026.探究点3：建立一元二次方程模型建立问题解：设小路的宽是xm，则横向小路的面积是32xm2，纵向小路的面积是2×20xm2，两者重叠的面积是2x2m2.根据题意得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.整理得x2－36x＋35=0.想一想：(20－x)(32－2x)=570.当堂检测1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x－4)=x2；3x2=5x－1.1.从左至右从上至下依次为x2+3x－2=0，1，3，－2；3y2－2y+1=0，3，－2，1；4x2－5=0，4，0，－5；3x2－2x－5=0，3，－2，－5.2.k≠±1k＝－14.(1)；(2)解：将x=0代入方程得m2－4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠－2，综上所述，m=2.5.(1)解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2cm2.根据题意，得，整理得.(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得，整理得.拓广探索6.解：由题意得，即.思考：(1)解：由题意得，即.∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根是1.(2)x1=－1或x2=2.