辽宁省本溪市高级中学2023-2024学年高三数学上学期适应性测试（一）试题（Word版附解析）

绝密★使用前本溪高中2023-2024学年度高考适应性测试（一）高三数学考生注意：1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共4页2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1．甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用表示碳原子的位置，用表示四个氢原子的位置，设，则（     ）A．B．C．D．2．设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为A．B．C．D．3．已知a，b，，且，，，则（    ）A．B．C．D．4．如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时，①点在空间形成的轨迹为圆②三棱锥的体积最大值为③的最大值为2④与平面所成角的正切值的最大值为上述结论中正确的序号为（    ）．A．①②B．②③C．①③④D．①②③5．若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，且，则的斜率为A．B．C．D． 6．函数在实数范围内的零点个数为（    ）A．0B．1C．2D．37．已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．8．若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（    ）A．1B．C．D．二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列结论正确的是（    ）A．直线在点处“切过”曲线B．直线在点处“切过曲线C．直线在点处“切过”曲线D．直线在点处“切过”曲线10．在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1A=A1C．E，F分别是线段AC，A1B1上的点．下列结论成立的是（       ）A．若AA1=AC，则存在唯一直线EF，使得EF⊥A1CB．若AA1=AC，则存在唯一线段EF，使得四边形ACC1A1的面积为C．若AB⊥BC，则存在无数条直线EF，使得EF⊥BCD．若AB⊥BC，则存在线段EF，使得四边形BB1C1C的面积为BC·EF11．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ）A．B．事件与互斥C．D．事件与对立12．过直线上一点作拋物线的两条切线，设切点分别为，记是线段的中点，则（    ）A．直线经过该抛物线的焦点B．直线轴C．线段的中点在该抛物线上 D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相交三、填空题（每题5分，共20分）13．已知，对于任意的实数，在区间上的最大值和最小值分别为和，则的取值范围为.14．如图，正方形ABCD的边长为，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且，将线段DE绕点D逆时针旋转至线段DF，若，则的最小值为.15．已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为．16．已知正的边长为1，为该三角形内切圆的直径，在的三边上运动，则的最大值为.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知数列满足，(1)令，求，及的通项公式；(2)求数列的前2n项和.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.19．如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R（R为常数）的扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF 和一个三角形的水池FCG.其中,O为圆心,,C,G,F在扇形圆弧上,D,E分别在半径OA,OB上,记OG与CF,DE分别交于M,N,.（1）求△FCG的面积S关于的关系式,并写出定义域；（2）若R=10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少？（取）20．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①若，求P关于k的函数关系式；②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：．21．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.22．已知函数．(1)当，分析函数的单调性； 本溪高中2023-2024学年度高考适应性测试（一）数学参考答案1．B【分析】根据正四面体的性质，以及正四面体的中心的位置关系，求碳原子和氢原子的距离，再结合余弦定理求，最后根据二倍角公式求【详解】由题意可知，氢原子构成如图所示的正四面体，碳原子是正四面体的中心，如图，连结并延长交平面于点，平面,设两个氢原子距离为，则，，设，中，，得，则中，  .故选：B2．C【分析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象,根据交点个数列出不等式求出的范围.【详解】，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示, 在上有且仅有三个零点，和的图象在上只有三个交点，结合图象可得，解得，即的范围是，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.3．B【分析】将转化为、转化为，转化为，作出的图像，根据，可得.【详解】构造函数（），，函数在上单调递减，，可转化为，可转化为，可转化为，下面比较的大小关系，显然：，，设，由和的图像可知：当时，，而，所以，所以，即. ,    设，和的图像如图所示：因为，所以，使得，所以当时，，而，所以，所以，即，综上：,则分别函数与直线的交点横坐标，如图所示：由图可知：.故选：B【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.4．D【分析】建立空间坐标系，运用空间向量知识求解出点的轨迹方程，再运用三棱锥体积、线面角等相关知识进行选项判定.【详解】建系如图，为等腰直角三角形， 在所在圆上，设，，，则M的轨迹为圆，是以OA为直径在xoy面上的圆.又随着M运动，H轨迹是以OC为直径的圆，故①正确②由图可得，B到面COH的距离为1，，故②正确；③设，则，，，当时等号成立，即当H运动到点C时，，故③正确；④由①知H在以OC为直径的圆上，且该圆所在的平面与平面PAB垂直，由对称性，只考虑C在上半圆，如图，过H作，过B作，则BH与平面PAB所成的角为，又，，故④错误.综上所述，正确的序号为①②③故选：D【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能够建立空间坐标系，用空间向量知识进行求解，具有较强的综合能力. 5．B【解析】点代入椭圆方程，点到准线距离和，解得，由，得，联立直线与椭圆方程得到，联立消去即可求出【详解】解：由题意可得，解得，所以椭圆，设：,设因为，所以由得则结合，联立消去解得故选：B.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.6．D【分析】将原函数零点看做函数与函数的交点，根据单调性和零点存在定理求解.【详解】令，，其中是奇函数，是二次函数，也是偶函数，令则是偶数，共有3个零点，当时，  ，，时，；根据对称性当时，，时，；由条件：  ，，令，则有，显然是偶函数，当时是增函数， 当时，，单调递增，当时，单调递减，再根据对称性，大致图像如下图：原函数，等价于求与的交点的个数，有2个零点：，当时，，无交点；当时，  ，，存在一个交点，当时，，存在一个交点，  当x趋于时，由于，并且，的增长速度明显大于，必然存在一个交点，所以有3个交点；故选：D.7．A【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.【详解】已知函数，则有且只有一个负整数解.令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，当时，取得最小值为.设，则恒过点在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示 显然，依题意得且即且，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.8．B【分析】由题目条件可先求出，再根据向量模的不等式求出的值域，由即可求出.【详解】由题意得，又因为，所以，当与同向时，，与反向时，，又因为，所以，故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以为中间量是解题的关键.9．ABD【分析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧，即可得到结论.【详解】对于A，由，得，则从而可得曲线在点处的切线为.当时，，当时，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故A正确.对于B，由，得，则，从而可得曲线在点处的切线为 .因为，故当时，，当时，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故B正确.对于C，由，得，则，从而可得曲线在点的切线为.因为，所以，则曲线在点附近位于直线的同侧，故C错误.对于D，由得，则，从而可得曲线在点处的切线为.令，则且，，故且，当时，；当时，，故在为增函数，在上为减函数，故在上，，在上，故当且仅当时等号成立，故当时，，当时，，故当时，，当，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.10．BCD【分析】A.易知，作，过作的平行线，与交于点F，证得平面，在AB上取一点H，作，得到平面平面，再根据点H有无数个判断；B.　根据是正三角形，设是中点，与重合，则，求得四边形的面积为，再分析不是中点，或不与重合时，线段的长度变化判断；C.根据，设是中点，记中 点为，则，再结合B的结论判断；D.设是中点，是中点，记中点为，得到四边形是平行四边形，再结合C的结论判断.【详解】如图所示：因为AA1=AC，则平行四边形是菱形，则，作，因为平面平面，所以平面，则，过作的平行线，与交于点G，则，又，则平面，在AB上取一点H，作，分别交线段AC，A1B1上于点E，F，易得平面，平面，又，所以平面平面，则平面HEF，所以，因为点H有无数个，所以有无数条直线EF，使得EF⊥A1C，故A错误．　如图所示：若，则是正三角形，设是中点，与重合，则，且四边形的面积为．∵平面平面，∴平面，∴平面．∵平面，∴当不是中点，或不与重合时，线段的长度将增加，四边形的面积不再等于．故B正确．如图所示： 若，设是中点，记中点为，则．由结论B知，∴平面．由于，，即，∴直线与确定的平面就是平面．∴为线段上任意一点，都有，故C正确．如图所示：设是中点，是中点，记中点为，则，．又，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，．根据结论C，，∴，∴平行四边形的面积为，即四边形的面积为．所以D正确．故选：BCD11．BC【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：共36种，若，此时取或所以，故A错误；若，则恒成立，所以与互斥，故B正确；，故C正确；当时，，此时事件与均未发生，所以事件与不对立，故D错误.故选：BC12．BC【分析】首先证明过抛物线上一点的切线方程结论，利用结论即可得到切点弦所在直线方程，即可判断A，求出点的坐标，从而得到即可判断B，求出的中点，代入抛物线方程即可判断C，对D举反例即可.【详解】首先推导抛物线的切线方程， 设过抛物线上一点的切线的斜率为,则，由点斜式得切线方程为：，联合抛物线方程，有：消去，得，相切,，即,整理得:，，点是抛物线上的点,，，，代入得:,整理,得即:，当不存在时，此时，切线方程为，适合上式切线方程，所以，过抛物线上一点的切线的方程为:.故对于本题来说，设对A，则过点的切线方程为，代入坐标有过点的切线方程为，代入坐标有故切点弦方程为，当时，，故过定点，而抛物线焦点坐标为，故A错误；对B，由切于的切线方程,切于的切线方程，，解得，而，则，故B正确；对C，，故，故的中点为，代入抛物线方程有，故的中点在抛物线上，故C正确；对D，取，此时切点弦所在直线方程为：，即，此时中点即圆心的坐标为，当时，，，故圆的半径为，而圆心到准线的距离为，故此时直线与圆相离，故D错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：（1）抛物线上一点的切线的方程为:.（2）过椭圆上一点的切线的方程为；（3）过双曲线上一点的切线的方程为；13．【分析】题目等价于在区间上的取值范围，分类，，三种情况，分别计算得到答案.【详解】表示向左平移个单位，向上平移个单位.不影响的取值范围，等价于在区间上的取值范围.画出函数图像：当时：；当时：；当时：.综上所述：故答案为【点睛】本题考查了函数的最大值最小值，等价转化和分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.14．【分析】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,设,写出相关点的坐标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题.【详解】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,,.设,则.又,,所以,所以,所以. 又,所以,从而.因为点E是正方形ABCD内一动点,所以,所以当时,取最小值,为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示,考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.试题以正方形为载体,结合旋转考查向量知识,通过建立恰当的平面直角坐标系,将向量知识迁移到几何情境中考查,重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.15．【分析】求出函数在上的最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答.【详解】依题意，函数在上单调递增，则当时，，因对任意，总存在，使得，则存在，成立，则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，，因此，在上的最大值只能在上取得而当时，，在上单调递增，在上单调递减，当，即时，在上单调递增，，由解得，于是得，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，而，此时不存在使得成立，综上得，即， 所以a的最大值为.故答案为：【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则.16．【分析】变换得到，则点为的顶点时取最大值，计算得到答案.【详解】正的边长为1，则高为，内切圆半径为如图所示，，当点为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了向量的最值计算，变换得到是解题的关键.17．(1)，，(2)【分析】（1）利用题给条件即可求得，的值；先由递推关系判定数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）分别求得数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，利用分组求和的方法即可求得数列的前2n项和.【详解】（1）由题意得，，，，，，，，当时，， 又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以，所以.18．(1)证明见解析(2)靠近B的三等分点【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；（2）根据（1）的结果，作出平面与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点到平面的距离，再根据比例关系，确定点的位置.【详解】（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，  则，，所以，且所以,所以，因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内，所以平面；（2）  在上取点，使，连结，在上取点，使，在上取点，使，连结，则，且，则，即，且，则四边形是平行四边形，所以，且，即，则，所以四点四点共面，连结， ，因为，所以点三点共线，所以五点共面，即与平面交于点，由（1）可知，平面，平面，所以，且，，且平面，所以平面，平面，所以，且是等腰直角三角形，点为的中点，所以，且，平面，所以平面，,所以，，，，所以，即，因为，所以，设点到平面的距离为，则，即，所以，因为点是的中点，所以点到平面的距离也是，若点到平面的距离为，则,所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点.19．(1).(2)17320元【分析】（1）利用圆的几何性质证得，利用表示出，由此求得三角形面积的表达式，并求得的取值范围.（2）求得，由此求得矩形面积的表达式，利用辅助角公式，结合三角函数求最值的方法，求得矩形面积的最大值，从而求得最高造价.【详解】（1）连接OF,因为,所以,易得,所以.     因为,所以,所以,, 所以.（2）因为,所以,所以  .因为,所以当时,最大.故矩形花坛的最高造价是元.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查扇形中的三角形、矩形面积计算，考查三角函数辅助角公式以及三角函数最值的求法，属于中档题.20．(1)(2)答案见解析【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；（2）①由已知得，的所有可能取值为1，，求出相应的概率，再由可求得P关于k的函数关系式；②由得（且），构造函数，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件，事件分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，所以，所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为，（2）①由已知得，的所有可能取值为1，， 所以，，所以，若，则，所以，，所以，得，所以P关于k的函数关系式（且）②由①知，，若，则，所以，得，所以（且）令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，，，所以不等式的解是且，所以且时，，采用方案二混合检验方式好，且时，，采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛：此题考查概率的综合应用，考查随机变量的数学期望，考查导数的应用，解题的关键是根据题意求出两随机变量的期望，再由化简，再构造函数利用导数可求出的范围，考查数学计算能力，属于难题.21．(1)(2)直线恒过定点，定点坐标为【分析】（1）设椭圆的右焦点为，连接，，然后在由条件可得，，，然后利用余弦定理求解即可；（2）首先求出椭圆的方程，然后由可推出，然后设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程消元表示出、，然后由求出的值可得答案. 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.又，所以而，所以，在四边形中，，所以，在中，根据余弦定理得即化简得.所以椭圆的离心率；（2）因为椭圆的上顶点为，所以，所以，又由（1）知，解得，所以椭圆的标准方程为.在中，，，所以，从而， 又为线段的中点，即，所以，因此，从而，根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，联立消去得①，，根据韦达定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直线不经过点，所以舍去，于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，所以直线恒过定点，定点坐标为.22．(1)答案见解析(2)【分析】（1）先求解导函数，再根据导函数分析函数的单调性即可；（2）先将题中问题转化为函数的零点问题，再根据相应函数的最值求解参数的值.【详解】（1）由已知，，，．当为奇数时，，，在区间上单调递增，当为偶数时，，，当时，，当时，，在区间上单调递减，在上单调递增，综上所述，当为奇数时，在区间上单调递增， 当为偶数时，在区间上单调递减，在上单调递增.（2），．设与上各有一点，，，．则在以为切点的切线方程为，在以为切点的切线方程为．由两条切线重合，得，由题意，方程组有唯一解，消去，整理得：．令，．可知在区间上单调递减，在，上单调递增．又当时，，有唯一解，则有，即．即．令，．可知在区间上单调递减，在区间，上单调递增．又，只有唯一一实根．当时，函数与的图象有且只有一条公切线