河南省许昌高级中学2023-2024学年高三数学上学期定位考试试题（Word版附解析）

河南省许昌高级中学2023—2024学年高三（上）定位考试数学试卷考生注意：1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则M，N，P的关系为()A.B.C.D.2.已知函数在区间单调递增，则a的最小值为()A.B.eC.D.3.已知平面向量，，则向量的模是()A.B.C.D.54.已知数列是一个递增数列，满足，，，则().A.4B.6C.7D.85.已知是方程的两根，且，则的值为()A.B.C.或D.或6.如图，在正三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为() A.B.C.D.7.已知二次函数的两个零点为，，若，，则的取值范围是().A.B.C.D.8.如图，在正方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数的定义域为R，，则()A.B.C.是偶函数D.为的极小值点10.下列命题中正确的命题是()A.，使；B.若，则； C.已知a，b是实数，则“”是“”的必要不充分条件；D.若角的终边在第一象限，则的取值集合为．11.在数列中，，若（k为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断中正确的有()A.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为012.已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，P为上底面上的动点，则下列四个结论中正确的为().A.若，则满足条件的点P有且只有一个B.若，则点P的轨迹是一段圆弧C.若平面，则DP长的最小值为2D.若平面，且，则平面BDP截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，图象，若存在，，使成立，则实数a的取值范围是________14.若的展开式中项的系数为-160，则的最小值为__________．15.若正数a，b满足，则的取值范围是_________.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_____________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等差数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式;(2)设，数列的前n项和为，求．18.（12分）已知圆C过点，，且圆心C在直线上.（1）求圆C的方程.（2）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.19.（12分）如图，在三棱锥中，，D是BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知，，，. （1）求证：.（2）若点M是线段AP上一点，且，试证明平面平面BMC.20.（12分）已知二项式的展开式中共有10项.（1）求展开式的第5项的二项式系数；（2）求展开式中含的项.21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为.（1）写出直线l的参数方程及曲线C的普通方程；（2）设点，若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 22.（12分）设函数.（1）设，求函数的最大值和最小值；（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间.参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：B解析：因为，，，所以.2.答案：C解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时， ，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.3.答案：A解析：向量，，向量，.4.答案：B解析：用特殊值法，显然.若，则又有，矛盾；若，则，，，因为是一个递增数列，所以；若，则，矛盾.综上，.5.答案：B解析：由根与系数的关系得，，.又，且，.6.答案：A解析：因为PA，PB，PC两两垂直，所以以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，，，所以，，.设平面PEF的法向量为，则取，则，，所以平面PEF的一个法向量为.设直线AF与平面PEF所成的角为，则.故选A.7.答案：D解析：由，，得，，，当时，，所以，.8.答案：B解析：设正方体的棱长为2，则，，，所以，.设向量是平面AEF的法向量，则取，则，，所以是平面AEF的一个法向量.经检验可知，A，C，D选项中的向量均不与共线.故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：ABC解析：取，则，故A正确；取，则，所以 ，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.综上，选ABC.10.答案：BCD解析：对于A:当时，，即，所以A不正确；对于B：若，则，即，可得或，此时，故B正确；对于C：若“”，则，若“”，则．所以“”是“”的必要不充分条件，所以C正确；对于D：角的终边在第一象限，则，，当在第一象限时，；当在第三象限时，则．则的取值集合为：，所以D正确．故选BCD．11.答案：AD 解析：对于A，k不可能为0正确；对于B，时，为等差数列，但不是等差比数列，故B错误；对于C，当等比数列的公比为1，即为常数列时，不符合题设，故C错误；对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1是等差比数列，且有无数项为0，故D正确.故选AD.12.答案：ABD解析：如图，由正四棱柱的底面边长为2，可知，又侧棱，可得，则当点P与点重合时，此时点P唯一，故A正确.若，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确.连接，，可得平面平面，则当P为的中点时，DP有最小值为，故C错误.由C知，平面BDP即为平面，平面BDP截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.答案：解析：，当时，为减函数，所以当时，函数的值域为，当时，，，则的值域为，因为存在，，使成立，所以， 若，则或，即或，所以若且，则故答案为：14.答案：4解析：将展开，得到，令，解得，则，得，所以，当且仅当“”时，取得等号，故取得最小值4．故答案为：4．15.答案：解析：解：，因为正数a，b满足，所以，所以.16.答案：解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①又因为点P在椭圆上，所以，将①代入可得.又，所以两边同除以a得.又，所以. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）(1)答案：解析：设数列的公差为d，，，，，，．(2)答案：解析：(2)由(1)可知，数列的前n项和为，，两式作差，得，．18.（12分）答案：（1）圆C的方程为解析：设圆C的方程为，依题意得解得所以圆C的方程为.（2）答案：不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB解析：假设符合条件的实数a存在.由（1）得圆心C为，因为直线l垂直平分弦AB，所以圆心必在直线l上，所以直线l的斜率. 又，所以.又圆C的半径，圆心C到直线的距离，所以不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB.19.（12分）答案：（1）证明见解析解析：因为，D是BC的中点，所以.如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以，所以，即.（2）答案：证明见解析解析：因为平面，平面ABC，所以.因为，，所以.因为M为AP上一点，且，所以.由（1）得，所以.又，所以. 所以，.设平面BMC的法向量为，则即令，则，，所以.设平面AMC的法向量为，则即令，则，，所以.所以，所以，所以平面平面BMC.20.（12分）答案：(1)解析：因为数列是公差为2的等差数列，且以，，为边长的三角形是直角三角形，所以，即，解得或（舍），所以；答案：(2)解析：由（1）得，所以， 故.21.（12分）答案：（1）解析：因为，所以，又因为，所以化简为，所以直线l的参数方程为(t为参数)由消去得：，所以曲线C的普通方程.答案：（2）解析：由知与反向，所以点在圆内联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程，可得，设A，B对应的参数分别为，故，由，解得，又因为，由于，代入①②得，解得(符合m的取值范围).22.（12分）答案：（1）函数的最大值为，最小值为-3.解析：据题，得，，因为，，，所以，所以函数的最大值为，最小值为-3. （2），增区间为解析：据题，，结合该函数为偶函数，得到，得，，结合，得到，此时，，令，解得，从而得到其增区间为.