浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

慈溪市2022学年第二学期高一期末测试卷数学学科试卷第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知复数z满（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.2.已知向量，，点，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设点，求出，再列出方程，即可得解.【详解】设点，又因为，，所以，即，所以，解得所以点的坐标为.故选：C.3.据慈溪市气象局统计，年我市每月平均最高气温（单位：摄氏度）分别为、、、、第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 、、、、、、、，这组数据的第百分位数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将数据由小到大进行排列，结合百分位数的定义可得出这组数据的第百分位数.【详解】将这组数据由小到大排列依次为、、、、、、、、、、、，因为，因此，这组数据的第百分位数为.故选：D.4.据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（）（参考数据：，）A.441量B.159量C.473量D.127量【答案】A【解析】【分析】根据时的车流量为500求出，再求时的车流量可得答案.【详解】由题意可得，可得，解得，所以，当时，（量）.故选：A5.如图，设，是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 在该坐标系下，向量，，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标分解向量，，再利用向量数量积的运算性质，即可求得的值.【详解】由题意可得向量，，因为，所以，所以.故选：A.6.已知某圆锥的底面积为，且它的外接球的体积为，则该圆锥的侧面积为（）A.B.或C.或D.或【答案】C【解析】【分析】由已知求得圆锥的底面半径和圆锥的外接球的半径，由勾股定理求圆锥的高，再利用勾股定理求圆锥母线长，代入圆锥的侧面积公式得答案．【详解】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，圆锥的外接球的半径为R，，；，，第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 设圆锥底面圆心为，外接球球心为，如图所示，则有，即，得，解得或，当时，，此时圆锥的侧面积为；当时，，此时圆锥的侧面积为.故选：C7.从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得2分的涂法种数，求得所求概率．【详解】随机地填涂了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种涂法，得2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种，故能得2分的概率为．故选：B．8.在四面体中，已知二面角为直二面角，，，，设.若满足条件的四面体有两个，则t的取值范围是（）第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取中点为，连接，由直二面角可得平面，，结合余弦定理与勾股定理可得，根据四面体有两个，结合二次函数根的分布即可求得t的取值范围.【详解】取中点为，连接因为，，为中点，所以，且，因为平面，又二面角是直二面角，所以平面，又平面，所以在中，，由余弦定理得：又所以，即设，即，满足条件的四面体有两个，所以有两个正根，所以，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，在等边正三棱柱中（注：侧棱长和底面边长相等的正三棱柱叫做等边正三棱柱），第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 ，已知点E，F分别在线段和上，且满足，若过，，三点的平面把等边正三棱柱分成上下两部分，则（）A.上半部分是四棱锥B.下半部分是三棱柱C.上半部分的体积是D.下半部分的体积是【答案】AD【解析】【分析】对于AB，利用几何体的结构特征判断即可；对于C，利用线面垂直的判定定理证得面，从而利用四棱锥的体积公式即可得解；对于D，利用切割法即可得解.详解】连接，如图，对于A，以为顶点，面为底面，则上半部分是四棱锥，故A正确；对于B，因为下半部分的两个底面并不平行，所以下半部分不可能是三棱柱，故B错误；对于C，记的中点为，连接，因为在等边正三棱柱中，，第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 所以是等边三角形，所以，，，易知面，面，所以，又面，所以面，而，则，易知，，所以梯形的面积为，故，故C错误；对于D，易得，所以，故D正确.故选：AD.10.已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（）A.两组数据的中位数相同B.两组数据的极差相同C.两组数据的方差相同D.两组数据的均值相同【答案】BC【解析】【分析】利用复数的乘法可得出，设，利用中位数的概念可判断A选项；利用极差的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用平均数公式可判断D选项.【详解】因为，则，则，所以，，不妨设，则，对于A选项，值的中位数为，值的中位数为，且，A错；对于B选项，值的极差为，值的极差为，且，故两组数据的极差相同，B对；第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 对于C选项，记，，值的方差为，值的方差为，故两组数据的方差相同，C对；对于D选项，由C选项可知，，D错.故选：BC.11.如图，正方体中，点Q在线段上运动（包括端点），则（）A.直线与直线互相垂直B.直线与直线是异面直线C.存在点Q使得直线与直线所成的角为45°D.当Q是线段的中点时，二面角的平面角的余弦值为【答案】ACD第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】利用线面垂直的性质及判定定理证、，进而有面，即可判断A、B；由正方体性质有为等边三角形，结合即可判断C；令正方体棱长为2，结合正方体结构、二面角的定义求夹角余弦值判断D.【详解】由面，面，则，又，，面，则面，由面，则，同理可证，由，面，故面，又面，则，且它们可能相交，A对，B错；由正方体性质易知：为等边三角形，而Q在线段上运动（包括端点），所以直线与直线所成角的范围为到之间（含端点值），又，所以存在点Q使得直线与直线所成的角为45°，C对；令正方体棱长为2，若Q与中点重合，分别为，连接，显然，则，，故，，所以，，面，则面，面，故，，故为二面角的平面角，且，面面，面面，，面，所以面，面，则，故，锐二面角的余弦值为，D对.第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 故选：ACD12.如图，在四边形，点E、F、M、N分别是线段AD、BC、AB、CD的中点，则（）A.B.C.当点G满足时，点G必在线段BD上D.当点P在直线BD上运动，且当最小时，必有【答案】ABC【解析】【分析】根据平面向量的线性运算判断A；由题意易得四边形是平行四边形，利用平面向量运算法则，结合平行四边形的几何性质可判断B；利用平面向量共线定理结合向量的运算即可判断C；利用数量积的运算性质，结合平面向量的运算法则转化数量积运算，即可判断D.【详解】对于A选项，，，所以，同理，以上两式相加得，所以A正确；对于B选项，连接第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 点E、M分别是线段AD、AB的中点，所以，同理，所以，则四边形是平行四边形，设与交于点，则为的中点所以，，所以，所以B正确：对于C选项，因为，又，所以，所以，整理得，且，所以点在线段上，所以C正确；对于D选项，的中点为，因为，又不变，所以最小时取得最小值，当时，最小，此时，即，所以D不正确.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：①和是互斥事件但不是对立事件；②和是互斥事件也是对立事件；③；第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 ④.其中，正确结论的序号是______.（请把你认为正确结论的序号都写上）【答案】②④【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可.【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确；事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，故②正确；由题意可知，所以，故③不正确；事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，故和是互斥事件，所以，故④正确.故答案为：②④.14.已知向量在向量上的投影向量为，则向量______.（写出满足条件的一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据投影向量的概念与平面向量的坐标运算即可得的值，从而可得满足条件的一个.【详解】向量在向量上的投影向量为所以,则向量（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.15.若虚数是关于x的实系数方程的一个根，则的值等于______.【答案】【解析】第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据题意知也是实系数方程的一个复数根，利用根与系数的关系求出m、n的值.【详解】因为虚数是关于x的实系数方程的一个根，所以也是实系数方程的一个虚数根，由根与系数的关系得，即；，所以.故答案为：.16.在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，可得，求出，由最大角定理即可求解.【详解】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，因为，所以.因为平面,所以平面.因为，，所以,所以，，第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 所以.设，则,所以,因为,所以,所以.又因为平面，所以由最大角定理可知，，于是，当时取得“＝”，满足条件.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知向量、满足：，，.（1）求；（2）若向量与共线，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的运算性质求出的值，可求出向量、的夹角，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；（2）由（1）可知，向量、不共线，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值.【小问1详解】解：设向量、的夹角为，由可得，因，，则，可得，第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 所以，，又因为，则，故.【小问2详解】解：由（1）可知，、不共线，因为与共线，所以存在实数，使得，即，所以，，解得.18.第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.（1）求x的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的（i）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）；（ii）中位数（结果用分数表示）.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率和为可求得的值；（2）利用频率分布直方图中的平均数，中位数的计算公式可求解即可．【小问1详解】，所以；【小问2详解】第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 （i）：（ii）因为，，所以中位数在8和12之间，设中位数，所以，可得.19.如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）取中点，推导出平面，可知是直线与平面所成的角，求出的正弦值，可求出的大小，由此可得出结果.【小问1详解】证明：连接，第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 因为且，故四边形为平行四边形，因为为的中点，则为的中点，又因为为的中点，所以，，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：取中点，由题意可知，所以，且，因为平面，平面，所以，又，所以，因为，、平面，所以平面．连接，则是直线与平面所成的角．由题意，同理可得，则，因为平面，平面，则，则，因为，，即直线与平面所成角的余弦值为.第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 20.为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响.（1）求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；（2）求不进行加赛甲就获得数独王的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，设“两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可；（2）设“不进行加赛甲就获得数独王”，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可.【小问1详解】设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，设“两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”．.所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为；【小问2详解】设“不进行加赛甲就获得数独王”.，，第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 ，所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为.21.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.（1）求角C；（2）若点D是满足，且，求的面积的最大值.（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C；（2）利用向量法或余弦定理，结合基本不等式求的面积的最大值.【小问1详解】若选①：由正弦定理得，在中，，所以，即，所以，又，有，所以，由，得.若选②：由正弦定理得，在中，，所以第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 即，所以，又，有，所以，由，得.【小问2详解】方法一：由，可得，两边平方可得，即，所以，当且仅当时取“＝”，所以，所以.方法二：由角C余弦定理可得③，由结合余弦定理可得，整理得④，由③可得，当且仅当时取“＝”，所以，所以即.22.如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.（1）当点M与端点D重合时，证明：平面；（2）求三棱锥的体积的最大值；第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 （3）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通过证明和，证明平面；（2）设，由，可求最大值；（3）由几何法找到和，表示出，利用函数方法可求最大值.【小问1详解】当点M与端点D重合时，由可知，由题意知上平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，可知，平面，平面，所以平面【小问2详解】矩形中作，垂足为点O，折起后得，由平面，平面，可得，所平面，，所以平面，平面，可得，所以A，O，E三点共线，第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 因此与相似，满足，设，所以，，，，，要使点射影落在线段上，则，所以，所以，当时，.【小问3详解】过点做交于，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，由（2）可知平面，平面，所以平面平面，作，垂足为，平面平面，平面，可得平面，连接，是直线与平面所成的角，即，由题意可得，，因为，，所以是二面角平面角，即，，，当且仅当时“＝”成立，故的最大值为.【点睛】方法点睛：1.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．2.求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司 ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．3.作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司