（2019-2023）五年高考数学真题分类汇编 学生版

五年高考真题分类汇编（2019-2023）学生版专题01集合与常用逻辑用语专题02函数的基本概念与基本初等函数I专题03导数及其应用专题04立体几何专题05平面解析几何专题06三角函数及解三角形专题07数列专题08计数原理、概率及统计专题09平面向量、不等式及复数 专题01集合与常用逻辑用语高频考点考点精析考点一元素与集合关系的判断1(2023•上海)已知P={1，2}，Q={2，3}，若M={x|x∈P，x∉Q}，则M=()A.{1}B.{2}C.{3}D.{1，2，3}考点二集合的包含关系判断及应用2(2023•新高考Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a=()2A.2B.1C.D.-1323(2021•上海)已知集合A={x|x>-1，x∈R}，B={x|x-x-2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是()A.A⊆BB.∁RA⊆∁RBC.A∩B=∅D.A∪B=R1 考点三并集及其运算4(2022•浙江)设集合A={1，2}，B={2，4，6}，则A∪B=()A.{2}B.{1，2}C.{2，4，6}D.{1，2，4，6}5(2020•山东)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}考点四交集及其运算26(2023•新高考Ⅰ)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x-x-6≥0}，则M∩N=()A.{-2，-1，0，1}B.{0，1，2}C.{-2}D.{2}7(2022•上海)若集合A=[-1，2)，B=Z，则A∩B=()A.{-2，-1，0，1}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{-1}8(2022•新高考Ⅰ)若集合M={x|x<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N=()A.{x|0≤x<2}B.{x1≤x<2C.{x|3≤x<16}D.x1≤x<16339(2022•新高考Ⅱ)已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=()A.{-1，2}B.{1，2}C.{1，4}D.{-1，4}10(2021•新高考Ⅰ)设集合A={x|-2<x<4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=()A.{2，3，4}B.{3，4}C.{2，3}D.{2}2 11(2021•浙江)设集合A={x|x≥1}，B={x|-1<x<2}，则A∩B=()A.{x|x>-1}B.{x|x≥1}C.{x|-1<x<1}D.{x|1≤x<2}12(2020•浙江)已知集合P={x|1<x<4}，Q={x|2<x<3}，则P∩Q=()A.{x|1<x≤2}B.{x|2<x<3}C.{x|3≤x<4}D.{x|1<x<4}13(2021•上海)已知A={x|2x≤1}，B={-1，0，1}，则A∩B=．14(2020•上海)已知集合A={1，2，4}，集合B={2，4，5}，则A∩B=．15(2019•上海)已知集合A=(-∞,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=．3 考点五交、并、补集的混合运算16(2021•新高考Ⅱ)若全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，6}，B={2，3，4}，则A∩∁UB=()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}17(2019•浙江)已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则(∁UA)∩B=()A.{-1}B.{0，1}C.{-1，2，3}D.{-1，0，1，3}考点六命题的真假判断与应用18(2020•浙江)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；y②对于任意的x，y∈T，若x<y，则∈S．下列命题正确的是()xA.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素考点七充分条件与必要条件19(2020•上海)命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f(x+a)<f(x)+f(a)；命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q2:f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，则下列说法正确的是()A.只有q1是p的充分条件B.只有q2是p的充分条件C.q1，q2都是p的充分条件D.q1，q2都不是p的充分条件4 20(2020•浙江)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．则“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件21(2019•浙江)若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2222(2019•上海)已知a、b∈R，则“a>b”是“|a|>|b|”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5 专题02函数的基本概念与基本初等函数I高频考点考点精析考点一函数的值域1(2019•上海)下列函数中，值域为[0，+∞)的是()1x2A.y=2B.y=xC.y=tanxD.y=cosx1,x≤0,2(2023•上海)已知函数f(x)=x，则函数f(x)的值域为．2,x>06 13(2022•上海)设函数f(x)满足f(x)=f1+x对任意x∈[0，+∞)都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f(x)都有{y|y=f(x)，0≤x≤a}=Af，则a的取值范围为．考点二函数的图象与图象的变换214(2021•浙江)已知函数f(x)=x+，g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是()411A.y=f(x)+g(x)-B.y=f(x)-g(x)-44g(x)C.y=f(x)g(x)D.y=f(x)7 5(2020•浙江)函数y=xcosx+sinx在区间[-π，π]上的图象可能是()A.B.C.D.116(2019•浙江)在同一直角坐标系中，函数y=，y=logax+(a>0且a≠1)的图象可能是x2a()A.B.C.D.8 考点三．复合函数的单调性x(x-a)7(2023•新高考Ⅰ)设函数f(x)=2在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()A.(-∞，-2]B.[-2，0)C.(0，2]D.[2，+∞)28(2020•海南)已知函数f(x)=lg(x-4x-5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2，+∞)C.(5,+∞)D.[5，+∞)9 考点四函数的最值及其几何意义9(2021•新高考Ⅰ)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为．3210(2019•浙江)已知a∈R，函数f(x)=ax-x．若存在t∈R，使得|f(t+2)-f(t)|≤，则实数a3的最大值是．10 考点五函数奇偶性的性质与判断2x-111(2023•新高考Ⅱ)若f(x)=(x+a)ln为偶函数，则a=()2x+11A.-1B.0C.D.1212(2021•上海)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()3xA.y=-3xB.y=xC.y=log3xD.y=3213(2019•上海)已知ω∈R，函数f(x)=(x-6)⋅sin(ωx)，存在常数a∈R，使f(x+a)为偶函数，则ω的值可能为()ππππA.B.C.D.234511 14(2021•新高考Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．3x-x15(2021•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x(a⋅2-2)是偶函数，则a=．2x+(3a+1)x+c16(2023•上海)已知a，c∈R，函数f(x)=．x+a(1)若a=0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f(x)是奇函数，说明理由；(2)若函数过点(1,3)，且函数f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．12 17(2021•新高考Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R(f(x)不恒为0)，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则()1A.f-=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0218(2020•海南)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1，1]∪[3，+∞)B.[-3，-1]∪[0，1]C.[-1，0]∪[1，+∞)D.[-1，0]∪[1，3]13 考点七分段函数的应用2ax-1x<019(2022•上海)若函数f(x)=x+ax>0，为奇函数，求参数a的值为．0x=02-x+2,x≤1,13720(2022•浙江)已知函数f(x)=x+1-1,x>1,则ff2=28　；若当x∈[a，b]时，1≤xf(x)≤3，则b-a的最大值是．14 考点八抽象函数及其应用2221(2022•新高考Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则fk=1(k)=()A.-3B.-2C.0D.12222【多选】(2023•新高考Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=yf(x)+xf(y)，则()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点23(2020•上海)已知非空集合A⊆R，函数y=f(x)的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f(x)≤f(x+t)恒成立，则称函数f(x)具有A性质．(1)当A={-1}，判断f(x)=-x、g(x)=2x是否具有A性质；1(2)当A=(0,1)，f(x)=x+，x∈[a，+∞)，若f(x)具有A性质，求a的取值范围；x(3)当A={-2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．15 考点九函数的周期性324(2019•上海)已知函数f(x)周期为1，且当0<x≤1时，f(x)=log2x，则f2=．考点十函数恒成立问题25(2021•上海)已知x1，x2∈R，若对任意的x2-x1∈S，f(x2)-f(x1)∈S，则有定义：f(x)是在S关联的．(1)判断和证明f(x)=2x-1是否在[0，+∞)关联？是否有[0，1]关联？2(2)若f(x)是在{3}关联的，f(x)在x∈[0，3)时，f(x)=x-2x，求解不等式：2≤f(x)≤3．(3)证明：f(x)是{1}关联的，且是在[0，+∞)关联的，当且仅当“f(x)在[1，2]是关联的”．16 考点十一对数的运算性质aa-3b26(2022•浙江)已知2=5，log83=b，则4=()255A.25B.5C.D.93考点十二对数值大小的比较0.1127(2022•新高考Ⅰ)设a=0.1e，b=，c=-ln0.9，则()9A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b128(2021•新高考Ⅱ)已知a=log52，b=log83，c=，则下列判断正确的是()2A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c考点十三反函数3-129(2021•上海)已知f(x)=+2，则f(1)=　　．x3-1-130(2020•上海)已知函数f(x)=x，f(x)是f(x)的反函数，则f(x)=．17 考点十四函数与方程的综合运用x,x<0,31(2019•浙江)设a，b∈R，函数f(x)=1312若函数y=f(x)-ax-b恰有x-(a+1)x+ax,x≥0⋅323个零点，则()A.a<-1，b<0B.a<-1，b>0C.a>-1，b<0D.a>-1，b>0232(2019•上海)已知f(x)=-a(x>1,a>0)，f(x)与x轴交点为A，若对于f(x)图象上任意x-1一点P，在其图象上总存在另一点Q(P、Q异于A)，满足AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|，则a=．133(2019•上海)已知f(x)=ax+，a∈R．x+1(1)当a=1时，求不等式f(x)+1<f(x+1)的解集；(2)若f(x)在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．18 考点十五根据实际问题选择函数类型34(2020•山东)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以rt用指数模型：I(t)=e描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(ln2≈0.69)A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天35【多选】(2023•新高考Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压p级Lp=20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：p0声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p219 F036(2023•上海)为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=，其中F0为建筑物暴露V0在空气中的面积(单位：平方米)，V0为建筑物的体积(单位：立方米)．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；(结果用含R、H的代数式表示)2L(2)定义建筑物的“形状因子”为f=，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总A建筑面积，即为每层建筑面积之和(每层建筑面积为每一层的底面面积)．设n为某宿舍楼的层数，层高f⋅n1为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=+．当f=18，T=10000时，试求当该宿T3n舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．37(2021•上海)已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．(1)求今年起的前20个季度的总营业额；(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20 38(2020•上海)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定q时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v=，x为道路密度，q为车辆密度，交通流x80100-135⋅1x,0<x<40量v=f(x)=3．-k(x-40)+85,40≤x≤80(1)若交通流量v>95，求道路密度x的取值范围；(2)已知道路密度x=80时，测得交通流量v=50，求车辆密度q的最大值．21 专题03导数及其应用高频考点考点精析考点一导数的运算1【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)．若3f-2x，g(2+x)均为偶函数，则()21A.f(0)=0B.g-=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)2考点二利用导数研究曲线上某点切线方程x2(2021•新高考Ⅰ)若过点(a,b)可以作曲线y=e的两条切线，则()babaA.e<aB.e<bC.0<a<eD.0<b<e22 x3(2022•新高考Ⅰ)若曲线y=(x+a)e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．4(2022•新高考Ⅱ)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．x5(2021•新高考Ⅱ)已知函数f(x)=|e-1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B|AM|(x2，f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是．|BN|23 考点三利用导数研究函数的单调性x6(2023•新高考Ⅱ)已知函数f(x)=ae-lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()2-1-2A.eB.eC.eD.ex7(2023•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=a(e+a)-x．(1)讨论f(x)的单调性；3(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+．224 e8(2022•浙江)设函数f(x)=+lnx(x>0)．2x(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)已知a，b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x3，f(x3))处的切线都经过点(a,b)．证明：1a(ⅰ)若a>e，则0<b-f(a)<-1；2e2e-a112e-a(ⅱ)若0<a<e，x1<x2<x3，则e+2<x+x<a-2．6e136e(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)axx9(2022•新高考Ⅱ)已知函数f(x)=xe-e．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；*111(3)设n∈N，证明：++⋯+>ln(n+1)．2221+12+2n+n25 x210(2021•新高考Ⅱ)已知函数f(x)=(x-1)e-ax+b．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)恰有一个零点．21e①<a≤，b>2a；221②0<a<，b≤2a．2x211(2021•浙江)设a，b为实数，且a>1，函数f(x)=a-bx+e(x∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；2(Ⅱ)若对任意b>2e，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；24blnbe(Ⅲ)当a=e时，证明：对任意b>e，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，满足x2>2x1+．2eb(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)26 12(2021•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x(1-lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；11(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+<e．abx-113(2020•海南)已知函数f(x)=ae-lnx+lna．(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．27 14(2019•浙江)已知实数a≠0，设函数f(x)=alnx+1+x，x>0．3(Ⅰ)当a=-时，求函数f(x)的单调区间；41x(Ⅱ)对任意x∈，+∞均有f(x)≤，求a的取值范围．e22a注：e=2.71828⋯为自然对数的底数．28 考点四利用导数研究函数的极值bc15【多选】(2023•新高考Ⅱ)若函数f(x)=alnx++(a≠0)既有极大值也有极小值，则xx2()2A.bc>0B.ab>0C.b+8ac>0D.ac<0316【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x-x+1，则()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线29 217(2023•新高考Ⅱ)(1)证明：当0<x<1时，x-x<sinx<x；2(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x)，若x=0为f(x)的极大值点，求a的取值范围．30 考点五利用导数研究函数的最值x18(2022•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=e-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．31 专题04立体几何高频考点考点精析考点一空间几何体的侧面积和表面积1(2021•新高考Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.22C.4D.422(2022•上海)已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为．3(2021•上海)已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ΔABC的面积的取值范围为．32 4(2021•上海)已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．5(2019•上海)一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为()A.1B.2C.4D.826(2020•浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是．7(2022•新高考Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.100πB.128πC.144πD.192π8(2021•新高考Ⅱ)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信22号覆盖地球表面的表面积S=2πr(1-cosα)(单位：km)，则S占地球表面积的百分比约为()A.26%B.34%C.42%D.50%33 考点二空间几何体的体积9(2022•新高考Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是()A.18，8127，8127，64B.C.D.[18，27]4444310(2022•新高考Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水2库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km；水位为海拔157.5m时，相应水面的2面积为180.0km．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)()93939393A.1.0×10mB.1.2×10mC.1.4×10mD.1.6×10m11(2021•新高考Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()56282A.20+123B.282C.D.3312【多选】(2023•新高考Ⅰ)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体34 13【多选】(2022•新高考Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB⎳ED，AB=ED=2FB．记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则()A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V114【多选】(2021•新高考Ⅰ)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则()A.当λ=1时，△AB1P的周长为定值B.当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值1C.当λ=时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP21D.当μ=时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P215(2023•新高考Ⅱ)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．35 16(2023•新高考Ⅰ)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=2，则该棱台的体积为．17(2020•海南)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为．18(2022•上海)如图所示三棱锥，底面为等边ΔABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP=AC=2．(1)求三棱锥体积VP-ABC；(2)若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．19(2020•上海)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．(1)若PC=5，求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若直线AD与BP的夹角为60°，求PD的长．36 考点三空间中直线与直线之间的位置关系20(2022•上海)如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为()A.点PB.点BC.点RD.点Q21(2021•浙江)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN⎳平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN⎳平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B122(2020•上海)在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是()A.AA1B1BB.BB1C1CC.CC1D1DD.ABCD37 23(2023•上海)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是()A.DD1B.ACC.AD1D.B1C考点四异面直线及其所成的角24【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°考点五空间中直线与平面之间的位置关系25(2019•上海)已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系()A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面38 26【多选】(2021•新高考Ⅱ)如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()A.B.C.D.考点六直线与平面所成的角27(2020•山东)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°39 28(2021•上海)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=3．(1)若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C-PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小．29(2021•浙江)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=15，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．(Ⅰ)证明：AB⊥PM；(Ⅱ)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．40 30(2020•海南)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．31(2020•上海)已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．(1)求该圆柱的表面积；π(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．241 32(2020•山东)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．33(2020•浙江)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．(Ⅰ)证明：EF⊥DB；(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．42 34(2019•上海)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5．(1)求直线A1C和平面ABCD的夹角；(2)求点A到平面A1MC的距离．35(2019•浙江)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(Ⅰ)证明：EF⊥BC；(Ⅱ)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．43 考点七二面角的平面角及求法36(2022•浙江)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，AC=AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则()A.α≤β≤γB.β≤α≤γC.β≤γ≤αD.α≤γ≤β37(2019•浙江)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则()A.β<γ，α<γB.β<α，β<γC.β<α，γ<αD.α<β，γ<β38【多选】(2023•新高考Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则()A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43πC.AC=22D.ΔPAC的面积为344 39(2023•上海)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB⊥AD，AB⎳CD，AB=2，AD=3，CD=4．(1)证明：直线A1B⎳平面DCC1D1；(2)若该四棱柱的体积为36，求二面角A1-BD-A的大小．40(2023•新高考Ⅱ)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC中点．(1)证明BC⊥DA；(2)点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值．45 41(2023•新高考Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D中，AB=2，AA1=4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3．(1)证明：B2C2⎳A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P．42(2022•浙江)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB⎳DC，DC⎳EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．(Ⅰ)证明：FN⊥AD；(Ⅱ)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．46 43(2022•新高考Ⅱ)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE⎳平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．44(2022•新高考Ⅰ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．47 45(2021•新高考Ⅱ)在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=5，QC=3．(Ⅰ)求证：平面QAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．46(2021•新高考Ⅰ)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若ΔOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积．48 考点八立体几何的交线问题47(2020•山东)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．49 专题05平面解析几何高频考点考点精析考点一两条平行直线间的距离1(2020•上海)已知直线l1:x+ay=1，l2:ax+y=1，若l1⎳l2，则l1与l2的距离为．222(2021•上海)若x+y-2x-4y=0，求圆心坐标为．50 223(2023•上海)已知圆x+y-4x-m=0的面积为π，则m=．22224【多选】(2021•新高考Ⅱ)已知直线l:ax+by-r=0与圆C:x+y=r，点A(a,b)，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离C.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切D.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离225【多选】(2021•新高考Ⅰ)已知点P在圆(x-5)+(y-5)=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|=32D.当∠PBA最大时，|PB|=32226(2022•新高考Ⅱ)设点A(-2,3)，B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)+(y+2)=1有公共点，则a的取值范围是．51 2227(2022•上海)设集合Ω={(x，y)|(x-k)+(y-k)=4|k|，k∈Z}①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；()A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立228(2023•新高考Ⅱ)已知直线x-my+1=0与⊙C:(x-1)+y=4交于A，B两点，写出满足8“ΔABC面积为”的m的一个值．5229(2023•新高考Ⅰ)过点(0,-2)与圆x+y-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=()15106A.1B.C.D.44410(2019•浙江)已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r．若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1)，则m=，r=　　．52 222211(2022•新高考Ⅰ)写出与圆x+y=1和(x-3)+(y-4)=16都相切的一条直线的方程．222212(2020•浙江)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x+y=1和圆(x-4)+y=1均相切，则k=，b=　　．22x2x213(2023•新高考Ⅰ)设椭圆C1:2+y=1(a>1)，C2:+y=1的离心率分别为e1，e2．若e2=a43e1，则a=()23A.B.2C.3D.632y2x14(2021•新高考Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C:+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的94最大值为()A.13B.12C.9D.653 2x215(2023•新高考Ⅱ)已知椭圆C:+y=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y=x+m与C3交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m=()2222A.B.C.-D.-33332y2x16(2022•新高考Ⅱ)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别63相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=23，则l的方程为．22y17(2021•上海)已知椭圆x+2=1(0<b<1)的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物b线交椭圆于P，且∠PF1F2=45°，则抛物线的准线方程是．54 2y2x18(2021•浙江)已知椭圆2+2=1(a>b>0)，焦点F1(-c,0)，F2(c，0)(c>0)．若过F1的直线和ab1222圆x-2c+y=c相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是．2y2x19(2019•浙江)已知椭圆+=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的95中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．2y2x20(2019•上海)已知椭圆+=1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．84(1)若直线l垂直于x轴，求|AB|；(2)当∠F1AB=90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；(3)若直线AF1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S△F1AB=S△F1MN，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．55 2y2x21(2022•新高考Ⅰ)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心ab1率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ΔADE的周长是．22y2x22(2020•海南)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率22ab1为．2(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求ΔAMN的面积的最大值．2y2x223(2020•山东)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．a2b22(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．56 2x224(2022•上海)双曲线-y=1的实轴长为．925(2019•浙江)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()2A.B.1C.2D.222y2x26(2021•新高考Ⅱ)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=2，则该双曲线的渐近线方22ab程为．2y2x27(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在Cab2上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=-F2B，则C的离心率为．357 2y2xb28(2022•浙江)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双a2b24a曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是．2y2x29(2022•新高考Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，22aa-1直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求ΔPAQ的面积．58 30(2021•新高考Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2．记M的轨迹为C．(1)求C的方程；1(2)设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|⋅|TB|=|TP|⋅2|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．2y2x31(2022•新高考Ⅱ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=22ab±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0．过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ⎳AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．59 2y2x22232(2020•上海)已知双曲线Γ1:-2=1与圆Γ2:x+y=4+b(b>0)交于点A(xA，yA)(第一象4b限)，曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足|x|>xA的部分．(1)若xA=6，求b的值；(2)当b=5，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|=8，求∠F1PF2；b2b(3)过点D0,2+2斜率为-2的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示OM⋅ON，并求OM⋅ON的取值范围．33(2023•新高考Ⅱ)已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．60 234(2021•新高考Ⅱ)若抛物线y=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=()A.1B.2C.22D.4235【多选】(2022•新高考Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C:y=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|=|AM|，则()A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°236(2021•上海)已知抛物线y=2px(p>0)，若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线AB的斜率为．237(2021•新高考Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|=6，则C的准线方程为．61 238(2020•山东)斜率为3的直线过抛物线C:y=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=　．2239(2019•上海)过曲线y=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y=4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，OM=λOA+(λ-2)OB，则λ=．240【多选】(2023•新高考Ⅱ)设O为坐标原点，直线y=-3(x-1)过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()8A.p=2B.|MN|=3C.以MN为直径的圆与l相切D.ΔOMN为等腰三角形241【多选】(2022•新高考Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则()A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切22C.|OP|⋅|OQ|>|OA|D.|BP|⋅|BQ|>|BA|62 242(2023•上海)已知抛物线Γ:y=4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a(a>0)．(1)若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；(2)当a=4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；(3)直线l:x=-3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|>4恒成立，求a的取值范围．2x2243(2020•浙江)如图，已知椭圆C1:+y=1，抛物线C2:y=2px(p>0)，点A是椭圆C1与抛物线2C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．1(Ⅰ)若p=，求抛物线C2的焦点坐标；16(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．63 244(2019•浙江)如图，已知点F(1,0)为抛物线y=2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记ΔAFG，ΔCQG的面积分别为S1，S2．(Ⅰ)求p的值及抛物线的准线方程；S1(Ⅱ)求的最小值及此时点G的坐标．S245(2020•浙江)已知点O(0,0)，A(-2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|-|PB|=2，且P为函数y=234-x图象上的点，则|OP|=()22410A.B.C.7D.10252246【多选】(2020•海南)已知曲线C:mx+ny=1．()A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为nmC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-xnD.若m=0，n>0，则C是两条直线64 2y2x47(2022•上海)设有椭圆方程Γ:+=1(a>b>0)，直线l:x+y-42=0，Γ下端点为A，M22ab在l上，左、右焦点分别为F1(-2，0)、F2(2，0)．(1)a=2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；3(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在ΔABM中有一内角余弦值为，求b；5(3)在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d=6，随a的变化，求d的最小值．2x2148(2022•浙江)如图，已知椭圆+y=1．设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q0,在1221线段AB上，直线PA，PB分别交直线y=-x+3于C，D两点．2(Ⅰ)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(Ⅱ)求|CD|的最小值．65 2y2x49(2021•新高考Ⅱ)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为F(2，0)，且离心率为22ab6．3(Ⅰ)求椭圆C的方程；222(Ⅱ)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x+y=b(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3．250(2021•浙江)如图，已知F是抛物线y=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．(Ⅰ)求抛物线的方程：(Ⅱ)设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点2P，Q，R，N，且满足|RN|=|PN|⋅|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．66 251(2021•浙江)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)=ax+b(x∈R)．若f(s-t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线2x252(2020•上海)已知椭圆+y=1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂2线交椭圆于C、D两点，且AB=CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线153(2023•新高考Ⅰ)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0,的距离，记动点2P的轨迹为W．(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．67 专题06三角函数及解三角形高频考点考点精析考点一同角三角函数间的基本关系sinθ(1+sin2θ)1(2021•新高考Ⅰ)若tanθ=-2，则=()sinθ+cosθ6226A.-B.-C.D.5555π2π2(2022•新高考Ⅰ)记函数f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期为T．若<T<π，且y433ππ=f(x)的图像关于点2，2中心对称，则f2=()35A.1B.C.D.32268 3(2023•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．224(2022•上海)函数f(x)=cosx-sinx+1的周期为．5(2020•上海)函数y=tan2x的最小正周期为．6(2020•上海)已知函数f(x)=sinωx，ω>0．1(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=的解集；22ππ(2)已知ω=1，g(x)=f(x)+3f(-x)f2-x，x∈0，4，求g(x)的值域．69 7(2023•上海)已知a∈R，记y=sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是()A.sa>0，ta>0B.sa<0，ta<0C.sa>0，ta<0D.sa<0，ta>08(2021•上海)已知f(x)=3sinx+2，对任意的x∈0，ππ1，都存在x2∈0，，使得f(x1)=2f(x222+θ)+2成立，则下列选项中，θ可能的值是()3π4π6π7πA.B.C.D.55559(2021•浙江)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于1的个数的最大值是()2A.0B.1C.2D.3π10(2021•新高考Ⅰ)下列区间中，函数f(x)=7sinx-单调递增的区间是()6ππ3π3πA.0，2B.2，πC.π，2D.2，2π70 11(2019•浙江)设函数f(x)=sinx，x∈R．(Ⅰ)已知θ∈[0，2π)，函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；π2π2(Ⅱ)求函数y=fx+12+fx+4的值域．π12(2022•浙江)为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin3x+图象上所有的点5()ππA.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度55ππC.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度151513【多选】(2020•海南)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=()πππ5πA.sinx+3B.sin3-2xC.cos2x+6D.cos6-2x71 114(2023•新高考Ⅱ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个2π交点，若|AB|=，则f(π)=　　．61115(2023•新高考Ⅰ)已知sin(α-β)=，cosαsinβ=，则cos(2α+2β)=()367117A.B.C.-D.-9999π16(2022•新高考Ⅱ)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+sinβ，则()4A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-117(2019•上海)已知tanα•tanβ=tan(α+β)．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则()A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对π18(2022•浙江)若3sinα-sinβ=10，α+β=，则sinα=　　，cos2β=　　．272 19(2023•上海)已知tanα=3，则tan2α=　　．π20(2020•浙江)已知tanθ=2，则cos2θ=　　，tanθ-=．41+5α21(2023•新高考Ⅱ)已知α为锐角，cosα=，则sin=()423-5-1+53-5-1+5A.B.C.D.884422(2021•浙江)设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)．π2(Ⅰ)求函数y=fx+2的最小正周期；ππ(Ⅱ)求函数y=f(x)fx-4在0，2上的最大值．73 23(2023•上海)已知△ABC中，角A，B，C所对的边a=4，b=5，c=6，则sinA=．24(2021•浙江)在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=23，则AC=；cos∠MAC=．125(2019•上海)在△ABC中，AC=3，3sinA=2sinB，且cosC=，则AB=．426(2021•新高考Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b=a+1，c=a+2．(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．74 27(2021•上海)在△ABC中，已知a=3，b=2c．2π(1)若A=，求S△ABC．3(2)若2sinB-sinC=1，求C△ABC．228(2021•新高考Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．29(2020•浙江)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA-3a=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围．75 30(2020•山东)在①ac=3，②csinA=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．π问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB，C=，？6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．31(2023•新高考Ⅰ)已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB．(1)求sinA；(2)设AB=5，求AB边上的高．cosAsin2B32(2022•新高考Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．1+sinA1+cos2B2π(1)若C=，求B；322a+b(2)求的最小值．2c76 33(2022•新高考Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正31三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1-S2+S3=，sinB=．23(1)求△ABC的面积；2(2)若sinAsinC=，求b．3334(2022•浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，cosC=．5(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若b=11，求△ABC的面积．35(2023•上海)某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为(1.025-cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ=．77 36(2021•浙江)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大S1正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则=．S237(2019•浙江)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则BD=，cos∠ABD=．38(2023•新高考Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD=1．π(1)若∠ADC=，求tanB；322(2)若b+c=8，求b，c．78 39(2022•上海)如图，在同一平面上，AD=BC=6，AB=20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB=∠ABC=120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；(1)若点P与点C重合，求∠POB的大小；(2)P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．40(2019•上海)如图，A-B-C为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，BD=39.2km，∠BDC=22°，∠CBD=68°，∠BDA=58°．(1)求BC的长度；(2)若AB=40km，求D到海岸线A-B-C的最短距离．(精确到0.001km)79 专题07数列高频考点考点精析考点一数列的函数特性n(n+1)1(2020•浙江)已知数列{an}满足an=，则S3=　　．2Sn2(2023•新高考Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：n为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件80 3(2022•上海)已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Si(i=1，2，⋯，100)中不同的数值有个．a1+a2+⋯+a94(2020•上海)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且a1+a10=a9，则=．a105(2020•海南)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为．6(2021•新高考Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2a4=S4．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an；(Ⅱ)求使Sn>an成立的n的最小值．81 7(2023•新高考Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=()A.120B.85C.-85D.-120*8(2022•浙江)已知等差数列{an}的首项a1=-1，公差d>1．记{an}的前n项和为Sn(n∈N)．(Ⅰ)若S4-2a2a3+6=0，求Sn；*(Ⅱ)若对于每个n∈N，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．9(2022•新高考Ⅱ)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．(1)证明：a1=b1；(2)求集合{k|bk=am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．82 10(2020•上海)已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1=1．(1)若数列{an}为等差数列，S10=70，求数列{an}的通项公式；1(2)若数列{an}为等比数列，a4=，求满足Sn>100an时n的最小值．812*11(2022•浙江)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an-an(n∈N)，则()35577A.2<100a100<B.<100a100<3C.3<100a100<D.<100a100<42222a112(2020•浙江)已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，且≤1．记b1=S2，bn+1=S2n+2d-S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是()22A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a4=a2a8D.b4=b2b883 2*13(2019•浙江)设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an+b，n∈N，则()11A.当b=时，a10>10B.当b=时，a10>1024C.当b=-2时，a10>10D.当b=-4时，a10>1001k-1k14【多选】(2021•新高考Ⅱ)设正整数n=a0⋅2+a1⋅2+⋯+ak-1⋅2+ak⋅2，其中ai∈{0，1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+ak，则()A.ω(2n)=ω(n)B.ω(2n+3)=ω(n)+1nC.ω(8n+5)=ω(4n+3)D.ω(2-1)=n15(2021•上海)已知ai∈N*(i=1，2，⋯，9)对任意的k∈N*(2≤k≤8)，ak=ak-1+1或ak=ak+1-1中有且仅有一个成立，a1=6，a9=9，则a1+⋯+a9的最小值为．16(2019•上海)已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn+an=2，则S5=　　．84 *17(2022•上海)数列{an}对任意n∈N且n≥2，均存在正整数i∈[1，n-1]，满足an+1=2an-ai，a1=1，a2=3．(1)求a4可能值；(2)命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9<30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；m*(3)若a2m=3，(m∈N)成立，求数列{an}的通项公式．9*18(2021•浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且4Sn+1=3Sn-9(n∈N)．4(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；**(Ⅱ)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N)，记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N恒成立，求实数λ的取值范围．85 an*19(2021•浙江)已知数列{an}满足a1=1，an+1=(n∈N)．记数列{an}的前n项和为Sn，1+an则()399A.<S100<3B.3<S100<4C.4<S100<D.<S100<522220(2021•上海)已知{an}为无穷等比数列，a1=3，an的各项和为9，bn=a2n，则数列{bn}的各项和为．21(2021•新高考Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图2形，它们的面积之和S1=240dm，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规2格的图形，它们的面积之和S2=180dm，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为n2；如果对折n次，那么Sk=dm．k=1an-6,n为奇数22(2023•新高考Ⅱ)已知{an}为等差数列，bn=，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项2an,n为偶数和，S4=32，T3=16．(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n>5时，Tn>Sn．86 2n+n23(2023•新高考Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1．令bn=，记Sn，Tn分别为数列{anan}，{bn}的前n项和．(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d．an+1,n为奇数,24(2021•新高考Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2,n为偶数⋅(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和．25(2020•海南)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．(1)求{an}的通项公式；n-1(2)求a1a2-a2a3+⋯+(-1)anan+1．87 26(2020•山东)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．bn27(2020•浙江)已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1=b1=c1=1，cn=an+1-an，cn+1=cn(n∈N*)．bn+2(Ⅰ)若{bn}为等比数列，公比q>0，且b1+b2=6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；1(Ⅱ)若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：c1+c2+c3+⋯+cn<1+，n∈N*．dSn128(2022•新高考Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，是公差为的等差数列．an3(1)求{an}的通项公式；111(2)证明：++⋯+<2．a1a2an88 29(2023•上海)已知f(x)=lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点(a1，f(a1))做函数f(x)的切线，该切线与y轴的交点记作(0,a2)，若a2>0，则过点(a2，f(a2))做函数f(x)的切线，该切线与y轴的交点记作(0,a3)，以此类推a3，a4，⋯，直至am≤0停止，由这些项构成数列{an}．(1)设am(m≥2)属于数列{an}，证明：am=lnam-1-1；(2)试比较am与am-1-2的大小关系；(3)若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．*30(2019•浙江)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3．数列{bn}满足：对每个n∈N，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列．(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；an**(Ⅱ)记cn=，n∈N，证明：c1+c2+⋯+cn<2n，n∈N．2bn89 31(2022•新高考Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，DD1CC1BB1AA1OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为=0.5，=k1，=k2，=OD1DC1CB1BA1k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.932(2022•上海)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是()A.若S2022>S2021，则数列{an}是递增数列B.若T2022>T2021，则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a202190 33(2020•上海)已知数列{an}为有限数列，满足|a1-a2|≤|a1-a3|≤⋯≤|a1-am|，则称{an}满足性质P．(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；(3)若{an}是1，2，3，⋯，m的一个排列(m≥4)，{bn}符合bk=ak+1(k=1，2，⋯，m-1)，{an}、{bn}都具有性质P，求所有满足条件的数列{an}．34(2019•上海)数列{an}(n∈N*)有100项，a1=a，对任意n∈[2，100]，存在an=ai+d，i∈[1，n-1]，若ak与前n项中某一项相等，则称ak具有性质P．(1)若a1=1，d=2，求a4所有可能的值；(2)若{an}不为等差数列，求证：数列{an}中存在某些项具有性质P；(3)若{an}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+⋯+a100．91 专题08计数原理、概率及统计高频考点考点精析考点一众数、中位数、平均数1【多选】(2023•新高考Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差2(2023•上海)现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP为232(亿元)，第四季度GDP为241(亿元)，四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为．3(2020•上海)已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab=　　．92 4【多选】(2021•新高考Ⅱ)下列统计量中，能度量样本x1，x2，⋯，xn的离散程度的有()A.样本x1，x2，⋯，xn的标准差B.样本x1，x2，⋯，xn的中位数C.样本x1，x2，⋯，xn的极差D.样本x1，x2，⋯，xn的平均数5【多选】(2021•新高考Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，⋯，yn，其中yi=xi+c(i=1，2，⋯，n)，c为非零常数，则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同6(2022•新高考Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()1112A.B.C.D.63237(2022•上海)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．8(2021•上海)已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．9(2019•上海)某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．10(2021•新高考Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立93 11【多选】(2023•新高考Ⅱ)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)()2A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)23C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)+(1-β)D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率12(2023•新高考Ⅱ)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)=p(c)+q(c)．当c∈[95，105]，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．94 13(2022•新高考Ⅱ)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．14(2020•上海)已知A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|<|b|的情况有种．15(2023•新高考Ⅱ)某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()4515204030304020A.C400⋅C200种B.C400⋅C200种C.C400⋅C200种D.C400⋅C200种95 16(2022•新高考Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.12种B.24种C.36种D.48种17(2020•海南)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()A.2种B.3种C.6种D.8种18(2020•山东)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种19(2023•新高考Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答)．20(2020•上海)从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．21(2019•上海)首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种(结果用数值表示)10010029910022(2023•上海)已知(1+2023x)+(2023-x)=a0+a1x+a2x+⋯+a99x+a100x，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得ak<0，则k的最大值为．96 n223(2022•上海)二项式(3+x)的展开式中，x项的系数是常数项的5倍，则n=．4234524(2022•浙江)已知多项式(x+2)(x-1)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x，则a2=　　，a1+a2+a3+a4+a5=　　．y82625(2022•新高考Ⅰ)1-x(x+y)的展开式中xy的系数为(用数字作答)．3443226(2021•浙江)已知多项式(x-1)+(x+1)=x+a1x+a2x+a3x+a4，则a1=；a2+a3+a4=．5227(2021•上海)已知二项式(x+a)展开式中，x的系数为80，则a=．n3n28(2021•上海)已知(1+x)的展开式中，唯有x的系数最大，则(1+x)的系数和为．5234529(2020•浙江)二项展开式(1+2x)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x，则a4=　　，a1+a3+a5=　．97 5330(2020•上海)已知二项式(2x+x)，则展开式中x的系数为．5231(2019•上海)已知二项式(2x+1)，则展开式中含x项的系数为．932(2019•浙江)在二项式(2+x)展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．1633(2019•上海)在x+的展开式中，常数项等于．x34(2019•浙江)设0<a<1．随机变量X的分布列是X0a1P111333则当a在(0,1)内增大时，()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大35(2022•浙江)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=　　，E(ξ)=　　．98 36(2021•浙江)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若11取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m-n=，E(ξ)=　　．6337(2020•浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ=0)=　　，E(ξ)=　　．38(2023•上海)2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P(B)和P(B|A)，并判断事件A和事件B是否独立；(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．99 39(2023•新高考Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；n(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1，2，⋯，n，则EXi=i=1nqi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．i=140(2021•新高考Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3)．(Ⅰ)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；23(Ⅱ)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x+p3x=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(Ⅲ)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．100 41(2021•新高考Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．242(2021•新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，则下列结论中不正确的是()A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等243(2022•新高考Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=　　．101 44(2023•上海)根据所示的散点图，下列说法正确的是()A.身高越大，体重越大B.身高越大，体重越小C.身高和体重成正相关D.身高和体重成负相关45(2022•新高考Ⅰ)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该P(B|A)P(B|A)疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标P(B|A)P(B|A)为R．P(A|B)P(A|B)(ⅰ)证明：R=⋅；P(A|B)P(A|B)(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．22n(ad-bc)附：K=．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828102 46(2020•山东)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查3了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m)，得下表：[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：[0，150](150，475][0，75](75，115](3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？22n(ad-bc)附：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828103 专题09平面向量、不等式及复数高频考点考点精析考点一基本不等式及其应用+1y1(2019•上海)若x，y∈R，且+2y=3，则的最大值为．xx2(2020•上海)下列不等式恒成立的是()222222A.a+b≤2abB.a+b≥-2abC.a+b≥2|ab|D.a+b≤-2ab3(2022•上海)若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是()aaA.a+b>2abB.a+b<2abC.+2b>2abD.+2b<2ab224【多选】(2020•山东)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()221a-b1A.a+b≥B.2>C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤222104 xa5(2021•上海)已知函数f(x)=3+(a>0)的最小值为5，则a=．x3+1226【多选】(2022•新高考Ⅱ)若x，y满足x+y-xy=1，则()2222A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x+y≤2D.x+y≥17(2020•海南)在ΔABC中，D是AB边上的中点，则CB=()A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA8(2019•浙江)已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi(i=1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是，最大值是．9(2020•上海)已知a1，a2，b1，b2，⋯，bk(k∈N*)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1-a2|=1，且|ai-bj|∈{1，2}(其中i=1，2，j=1，2，⋯，k)，则k的最大值是．10(2022•新高考Ⅰ)在ΔABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n11(2023•上海)已知向量a=(-2,3)，b=(1,2)，则a⋅b=　　．105 12(2021•浙江)已知非零向量a，b，c，则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13(2021•上海)如图正方形ABCD的边长为3，求AB⋅AC=．14(2021•新高考Ⅱ)已知向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，则a⋅b+b⋅c+c⋅a=　　．15(2020•上海)三角形ABC中，D是BC中点，AB=2，BC=3，AC=4，则AD∙AB=．16【多选】(2021•新高考Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β)，sin(α+β))，A(1,0)，则()A.|OP1|=|OP2|B.|AP1|=|AP2|C.OA⋅OP3=OP1⋅OP2D.OA⋅OP1=OP2⋅OP317(2022•上海)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ，且满足a⋅b=0，a⋅c=2，b⋅c=1，则λ=．106 18(2020•山东)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)19(2021•上海)在ΔABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在ΔABC，使得AB⋅CE=0；②存在ΔABC，使得CE⎳(CB+CA)；它们的成立情况是()A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立22220(2022•浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1A2上，则PA1+PA2+⋯+PA8的取值范围是．21(2021•浙江)已知平面向量a，b，c(c≠0)满足|a|=1，|b|=2，a⋅b=0，(a-b)⋅c=0．记平面向222量d在a，b方向上的投影分别为x，y，d-a在c方向上的投影为z，则x+y+z的最小值是．22(2023•新高考Ⅰ)已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)．若(a+λb)⊥(a+μb)，则()A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-123(2023•新高考Ⅱ)已知向量a，b满足|a-b|=3，|a+b|=|2a-b|，则|b|=　　．107 24(2022•新高考Ⅱ)已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t=()A.-6B.-5C.5D.625(2020•浙江)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1-e2|≤2．设a=e1+e2，b=3e1+e2，向量a，b2的夹角为θ，则cosθ的最小值是．26(2022•浙江)已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则()A.a=1，b=-3B.a=-1，b=3C.a=-1，b=-3D.a=1，b=327(2020•浙江)已知a∈R，若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数，则a=()A.1B.-1C.2D.-228(2023•新高考Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2-i29(2021•新高考Ⅱ)复数在复平面内对应点所在的象限为()1-3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限108 1-i30(2023•新高考Ⅰ)已知z=，则z-z=()2+2iA.-iB.iC.0D.131(2022•新高考Ⅱ)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i32(2021•浙江)已知a∈R，(1+ai)i=3+i(i为虚数单位)，则a=()A.-1B.1C.-3D.333(2020•海南)(1+2i)(2+i)=()A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i2-i34(2020•山东)=()1+2iA.1B.-1C.iD.-i35(2023•上海)已知复数z=1-i(i为虚数单位)，则|1+iz|=　　．109 36(2021•上海)已知z1=1+i，z2=2+3i，求z1+z2=　　．37(2020•上海)已知复数z=1-2i(i为虚数单位)，则|z|=　　．138(2019•上海)已知z∈C，且满足=i，求z=．z-5139(2019•浙江)复数z=(i为虚数单位)，则|z|=　　．1+i40(2022•新高考Ⅰ)若i(1-z)=1，则z+z=()A.-2B.-1C.1D.2110 41(2021•新高考Ⅰ)已知z=2-i，则z(z+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i42(2022•上海)已知z=1+i(其中i为虚数单位)，则2z=　　．43(2020•上海)已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为．111