第6章一元一次方程知识归纳（华东师大版七下）

第六章一元一次方程一、基本概念（一）方程的变形法则法则1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不变。例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新方程：8x=-6。移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5即x＝12(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即x＝－4法则2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。例如：(1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：x=-(2)将方程x＝两边都乘以得：x=这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。注意：（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。求不方程的解的过程，叫做解方程。（二）一元一次方程的概念及其解法1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是，未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程。例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。而这些方程5x2－3x+1＝0、2x+y＝l－3y、＝5就不是一元一次方程。2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且a≠0）一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且a≠0）3．解一元一次方程的一般步骤7 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）（三）一元一次方程的应用1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。二、练习1．下列各式哪些是一元一次方程。(1)+1=3x—4(2)=(3)—x=o(4)一2x=0(5)3x一y=l十2y((1)、(2)、(3)都是一元一次方程，(4)、(5)不是一元一次方程)2．解下列方程。(1)(x一3)＝2一(x一3)(2)[(x一3)－]=1－x注意认真审题，方程的结构特点。选用简便方法。第(1)小题，可以先去括号，也可以先去分母，还可以把x一3看成一个整体，解关于x一3的方程。方法—：去括号，得x—=2—x+移项，得x+x=2＋＋合并同类项，得x=5方法二：去分母，得x一3＝4一x+37 (强调等号右边的“2”也要乘以2，而且不要弄错符号)移项，得x+x＝4+3十3合并同类项，得2x＝10系数化为1，得x=5方法三：移项(x一3)+(x一3)＝2即x一3=2∴x＝5第(2)小题有双重括号，一般情况是先去小括号，再去中括号，但本题结构特殊，应先去中括号简便，注意去中括号时，要把小括号看作一个整体，中括号里先看成2项。解：去中括号，得(x一3)一×＝1一x即x一3一＝1一x移项，得x+x＝1+3+合并同类项，得x＝系数化为1，得x=也可以让学生先去小括号，让他们对两种解法进行比较。3．解方程。(l)—=l+(2)—x=+l解：(1)去分母，得3x一(5x十11)＝6+2(2x一4)去括号，得31—5x—11＝6+4x一8移项，得3x一5x—4x＝6—8十1l合并同类项，得一6x＝9系数化为l，得x＝一点拨：去分母时注意事项，右边的“1”别忘了乘以6，分数线有两层含义，去掉分数线时，要添上括号。(2)先利用分数的基本性质，将分母化为整数。7 原方程化为一x＝x十l去分母，得2(10—5x)一4x＝90x+6去括号，得20一l0x一4x=90x+6移项，得一l0x一4x一90x＝6—20合并同类项，得一104x=一14系数化为1，得x＝点拨：“将分母化为整数”与“去分母”的区别。本题去分母之前，也可以先将方程右边的约分后再去分母。4．解方程。(1)｜5x一2｜＝3(2)｜｜=1分析：(1)把5x一2看作一个数a，那么方程可看作｜a｜＝3，根据绝对值的意义得a＝3或a＝一3(2)把看作一个数，或把｜｜化成｜｜解：(1)根据绝对值的意义，原方程化为：5x一2＝3或5x一2＝一3解方程5x一2＝3得x=l解方程5x一2=一3得x=－所以原方程解为：x＝1或x＝－(2)根据绝对值的意义，原方程可化为=1或=－1解方程=1得x=一1解方程＝－1得x＝2所以原方程的解为x＝一1或x=25．已知，｜a一3｜+(b十1)2=o，代数式的值比b一a十m多1，求m的值。7 解：因为｜a一3｜≥0(b+1)2≥0又｜a一3｜+(b十1)2=0∴｜a一3｜＝0且(b+1)2=0∴a－3=0b十l=0即a＝3b=－1把a=3，b=一1分别代人代数式,b－a+m得=×(一1)一3+m=一3+m根据题意，得一(－3十m)＝l去括号得+3一m＝1即一＋－m＝l∴-十l＝1∴-=0∴m＝06．m为何值时，关于x的方程4x一2m＝3x+1的解是x＝2x一3m的2倍。解：关于；的方程4x一2m＝3x+1，得x＝2m+1解关于x的方程x＝2x一3m得x＝3m∵根据题意，得2m+l=2×3m解之，得m＝7．为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。(1)直接存一个6年期，年利率是2.88％；(2)先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期。3年期的年利率是2.7％。你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少?分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。7 设开始存入x元。．如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：x×(1十2.88％×6)＝5000解得x≈4263(元)如果按照第二种蓄储方式，可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和＝本金十利息利息：本金X利率X期数等量关系是：第二个3午后本利和＝5000所以列方程1.081x·(1十2.7％×3)＝5000解得x≈4279这就是说，大约4280元，3年期满后将本利和再存一个3年期，6年后本利和达到5000元。因此第一种储蓄方式<即直接存一个6年期)开始存人的本金少。8．解答下列各问题：(1)据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的，问全国人均水资源占有量是多少立方米?世界人均水资源占有量是多少立方米?(2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6×l05个水龙头，2×l05个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水，一个漏水马桶，一个月漏掉b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米?(用含a、b的代数式表示)(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米?10．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7％)，3年后能取5405元，他开始存入了多少元?7 11．一收割机收割一块麦田，上午收了麦田的25％，下午收割了剩下麦田的20％，结果还剩6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷?12．儿子今年13岁，父亲今年40岁，父亲的年龄可能是儿子年龄的4倍吗?7