第6章一元一次方程6.3实践与探索第1课时体积和面积问题教案（华东师大版七下）

6.3实践与探索第1课时体积和面积问题【知识与技能】1.使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理.2.能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题.【过程与方法】在自主学习的过程中学会理解和体会数学建模思想在实际问题中的作用.【情感态度】通过本节的教学，应该达到培养学生体会数学的实际使用价值的目的.【教学重点】利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题.【教学难点】找问题中的等量关系.一、情境导入，初步认识我们学过一些图形的相关公式，你能回忆一下，有哪些公式？【教学说明】回忆一些图形的有关公式，为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题，找等量关系起到帮助作用.二、思考探究，获取新知问题：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形：(1)如果长方形的宽是长的2/3，求这个长方形的长和宽；(2)如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小.还能围出面积更大的长方形吗?解：（1）设长方形的长为x厘米，则宽为2/3x厘米.根据题意，得2（x+2/3x）=60解这个方程,得x＝18所以长方形的长为18厘米，宽为12厘米.(2)设长方形的长为x厘米，则宽为(x-4)厘米，根据题意，得2(x＋x-4)＝604 解这个方程,得x＝17所以，S＝13×17＝221(平方厘米).(3)在(1)的情况下S＝12×18＝216(平方厘米)；在(2)的情况下S＝13×17＝221(平方厘米).还能围出面积更大的长方形，当围出的长方形的长宽相等时，即为正方形，其面积最大，此时其边长为15厘米，面积为225平方厘米.讨论：在第(2)小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？如不能，怎么办？如果直接设长方形的面积为x平方厘米，则如何才能找出相等关系列出方程呢？诱导学生积极探索：不能直接设面积为未知数，则需要设谁为未知数呢？那么设未知数的原则又是什么呢？如果我们要算出长方形的面积，就要知道长方形的长和宽.如果我们知道长是多少，根据宽比长少4厘米求出宽，然后就能求出面积.所以现在应该去求出长方形的长或者宽.如果设长方形的长或宽为未知数，其实问题就跟原来的第一小题一样.这体现了要把新问题转换为已知问题的数学思想.探索：将题(2)中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即长宽相等），长方形的面积有什么变化？【教学说明】让学生积极动手计算，得出：面积会变为222.75，224，224.75,225平方厘米，即面积越来越大.【归纳结论】在周长一定的情况下，长方形的面积在长和宽相等的情况下最大；如果可以围成任何图形，则圆的面积最大.三、运用新知，深化理解1.一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，求长方形的长?2.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根?3.将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm，宽为5cm的长方体铁块，求长方体铁块的高度?4.将棱长为6cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm2，问量筒中水面升高了多少cm？4 5.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高？（精确到0.1毫米，π≈3.14）.6.有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为6cm，2cm，高和长方形的宽都等于3cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标x的长度是多少？【教学说明】图形面积之间相等关系常作为列方程的依据.7.有A、B两个圆柱形容器，如图，A容器内的底面积是B容器内的底面积的2倍，A容器内的水高为10cm，B容器是空的，B容器的内壁高度为22cm.若把A容器内的水倒入B容器，问：水会不会溢出？【教学说明】经过练习，使学生明白在等积类题目中是如何找等量关系的.【答案】1.解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为(13-x)cm.依据题意，得方程x-1=13-x+2解得：x=8答：长方形的长为8cm.2.解：设可锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴x根.依据题意，得方程3×0.22πx=30×0.42π解得：x=40答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根.3.解：设长方体铁块的高度为xcm.依据题意，得方程100×5x=20×20×20解得：x=16答：长方体铁块的高度为16cm.4.解：设量筒中水面升高了xcm.依据题意，得方程12x=6×6×6x=18答：量筒中水面升高了18cm.5.解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得π·（200/2）2x=300×300×80x≈229.3答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米.4 6.分析：本题有这样一个相等关系：长方形的面积＝梯形的面积.我们只要用已知数或x的代数式来表示相等关系的左边和右边，就能列出方程.解：由题意得(6-x)×3=[(2+6)×3]/2解这个方程，得6-x＝4，x＝2.答：x的长度为2cm.7.分析：A容器内的水倒入B容器后，如果水高不大于B容器的内壁的高度，水就不会溢出，否则，水就会溢出.因此只要求出A容器内的水倒入B容器后的水高.本题有如下的数量关系：A容器内的底面积＝B容器内的底面积的2倍倒前水的体积＝倒后水的体积设B容器内的底面积为a，那么A容器内的底面积为2a，设B容器的水高为xcm，可利用圆柱的体积公式列方程.解：设A容器内的水倒入B容器后的高度为xcm，根据题意，得2×10＝1×x，解得x＝20(cm).因为20<22，即B容器内的水高度不大于B容器的内壁的高度，所以水不会溢出.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业:教材第16页“练习”2.完成练习册中本课时练习.现实生活中，蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用.解答应用题的过程就是把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程，解方程往往并不困难，难的是如何列出方程，列方程最关键的是如何挖掘问题中的相等关系.等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积＝变形后的体积.一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程.4