第17章一元二次方程章末复习教案（沪科版八下）

章末复习【知识与技能】1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根.2.理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题.3.掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它解一些简单的问题.4.会列出一元二次方程解实际问题.【过程与方法】1.进一步培养学生快速准确的计算能力.2.进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力.3.进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.【情感态度】1.进一步渗透知识之间的相互联系和相互作用.2.进一步渗透“转化”的思想方法及对学生进行辩证唯物主义思想教育.3.进一步体会配方法是解决数学问题的一种思想方法.【教学重点】1.一元二次方程的解法及判别式.2.一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用.【教学难点】列方程解决实际问题，灵活运用根与系数的关系解决问题.一、知识框图，整体把握8 【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图，使学生对本章知识有一个总体把握，了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的定义和一般形式（1）只含有一个未知数、且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）特别注意：①分母中不含有未知数.②只有当二次项系数a≠0时，整式方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程.2.一元二次方程的解法一元二次方程解法有：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.说明：（1）明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；（2）根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；8 值得注意的问题：①一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.②直接开平方法是最基本的方法.③公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程.但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法配方法，待定系数法）.3.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac,①当Δ＞0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；②当Δ=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；③当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2=.应用根与系数的关系，可以不解方程，计算两根的和或积，求式子的值.5.建立一元二次方程模型解决实际问题建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程.注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系.【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识有进一步的理解，形成知识网络.三、典例精析，复习新知例1判断关于x的方程x28 -mx(2x-m+1)=x中是不是一元二次方程，如果是，指出二次项系数、一次项系数及常项数.【分析】先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，然后根据一元二次方程的定义可知，当a≠0时方程是一元二次方程.解：原方程可化为（1-2m）x2+(m2-m-1)x=0.当1-2m=0,即m=时，原方程整理为-x=0,原方程是一元一次方程；当1-2m≠0,即m≠时，原方程是一元二次方程.此时，二次项系数为1-2m，一次项系数为m2-m-1,常数项为0.例2已知关于x的一元二次方程（m-）x2+3x+m2-2=0的一个根中零.求m的值.【分析】(1)正确理解方程的根的概念；（2）要特别注意一元二次方程ax2+bx+c=0中隐含的a≠0这个条件.解：方程的一个根是零，即x=0,当x=0时，原方程可化为m2-2=0.解得m=±.又∵m-≠0,即m≠,∴m=-例3（四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两个实数根为x1，x2.（1）求m的取值范围.（2）设y=x1+x2,当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值.【分析】（1）一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的条件是b2-4ac≥0，不要漏掉b2-4ac=0的情况.先把方程变形成一般形式，把a，b，c的值代入b2-4ac，根据b2-4ac≥0求出m的取值范围.（2）可由一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小的性质，根据自变量取值范围，求出一次函数的最大值或最小值.解：（1）将原方程整理为x2+2（m-1）x+m2=0.∵原方程有两个实数根，∴Δ=［2(m-1)］2-4m2=-8m+4≥0，得m≤.（2）∵x1，x2=-2m+2，8 ∴y=x1+x2=-2m+2，∵y随m的增大而减小，且m≤，∴当m=时，y取得最小值1.【教学说明】教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.四、复习训练，巩固提高1.若方程x2－3x－1=0的两根为x1、x2，则的值为().A.3B.－3C.D.－2.关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（）A.6B.7C.8D.93.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）.A.x2+130x－1400=0B.x2+65x－350=0C.x2－130x－1400=0D.x2－65x－350=04.关于x的一元二次方程－x2+(2k+1)x+2－k2=0有实数根，则k的取值范围是.5.已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2)(x2－2)=.6.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为.7.解方程：(x－3)2+4x(x－3)=08.阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1=y，那么原方程可化为y2－5y+4=0……①，解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2－1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2－1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=－，x3=，x4=－.解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用8 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4－x2－6=0.9.关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.10.如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案】1.B2.C3.B4.k≥－5.－46.10％8 10.解：设AD=BC=xm，则AB=（80－2x）m（1）由题意得：x（80－2x）=750解得：x1=15x2=25当x=15时，AD=BC=15m，AB=50m当x=25时，AD=BC=25m，AB=30m答：当平行于墙面的边长为50m，斜边长为15m时，矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m，邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.8 （2）由题意得：x（80－2x）=810Δ=40－4×405=1600－1620=－20＜0∴方程无解，即不能围成面积为810m2的矩形场地.【教学说明】学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.五、师生互动，课堂小结1.一元二次方程的定义和一般形式.2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据具体的问题选择合适的方法.3.根的判别式：Δ=b2-4ac和根与系数的关系：4.列方程解应用题的一般步骤.【教学说明】学生结合刚才所进行的复习，进行自主交流与反思，提出自己的困惑，进一步掌握全章知识.完成同步练习册中本课时的练习.重点是让学生加强对一元二次方程解法的熟练性，难点是让学生掌握根的判别式和根与系数的关系.对于根的判别式这个知识点，学生还不时会在两个方面出问题：一是方程有解的时候，学生通常只考虑到△＞0的情况，而漏了△=0情况；二是在对方程中某一待定系数的取值范围的分析的时候，常常会忘记对二次项系数a≠0这种情况的分析.有一部分的学生问题主要还是出在了公式的误差记忆上，从而导致了整个运算的错误.还有一点问题就是学生的运算能力太差，在解方程时，方法基本都已经掌握，但无法保证计算的准确性.8