第18章勾股定理18.1勾股定理第1课时勾股定理同步练习（沪科版八下）

18.1　第1课时　勾股定理一、选择题1.若一直角三角形的两直角边长分别为6和8,则斜边长为(　　)A.27B.10C.100D.10或272.如图1,字母A所代表的正方形的面积为(正方形中的数字表示该正方形的面积)(　　)图1A.13　　B.13C.8　　D.以上都不对3.下列说法中,正确的是(　　)A.在直角三角形中,两直角边之和等于斜边B.若a,b,c为三角形的三边,则a2+b2=c2C.在Rt△ABC中,若a,b,c为其三边,则a2+b2=c2D.以上说法均不正确4.若一直角三角形的两边长分别为12和5,则第三边长为(　　)A.13B.13或119C.13或15D.155.如图2,在△ABC中,BD是AC边上的中线,AB⊥AC,AB=5cm,AD=6cm,则BC的长是(　　)10 图2A.13cmB.12cmC.169cmD.61cm6.如图3,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形,是我国古代数学的骄傲,它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.已知小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a,b,且ab=6,则图中大正方形的边长为(　　)图3A.5B.13C.4D.37.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积为(　　)A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm28.[2019·自贡期末]如图4,在△ABC中,AB=BC=22,AB⊥BC,P是△ABC边上的一点,若点P到AC的距离为3,则这样的点P有(　　)图4A.0个B.1个C.2个D.3个10 二、填空题9.直角三角形的斜边长是5,一直角边的长是3,则此直角三角形的面积为　　　　. 10.等腰三角形的腰长为5cm,底边长为8cm,则底边上的高为　　　　. 11.如图5,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以点O为圆心,OC长为半径向原点右侧画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为　　　　. 图512.如图6所示,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕的长为　　　　cm. 图613.如图7所示,∠B=∠OAF=90°,BO=3cm,AB=4cm,AF=12cm,则图中半圆的面积是　　　　cm2. 图714.在△ABC中,AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高AD为12cm,则△ABC的面积为　　　　. 三、解答题15.在△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.10 (1)已知a=7,b=24,求c;(2)已知a=4,c=7,求b.16.如图8所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=50cm,BC=30cm,CD⊥AB于点D,求CD的长.图810 17.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图9①或图②摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.请你利用图①或图②证明勾股定理a2+b2=c2(其中∠DAB=90°,点C,A,E在同一条直线上).图918、细心观察图10,认真分析下列各式,然后解答问题.10 OA22=(1)2+1=2,S1=12;OA32=12+(2)2=3,S2=22;OA42=12+(3)2=4,S3=32;…　　(1)请用含有n(n是正整数)的式子表示上述规律:OAn2=　　　　,Sn=　　　　; (2)求出OA10的长;(3)若此图形中的一个三角形的面积是5,通过计算说明它是第几个三角形.图1010 答案1.[解析]B　∵直角三角形的两直角边长分别为6和8,∴由勾股定理,得斜边长=62+82=10.2.[答案]A3.[答案]D4.[解析]B　当12是斜边长时,第三边长是122-52=119;当12是直角边长时,第三边长是122+52=13.5.[答案]A6.[解析]B　∵ab=6,∴直角三角形的面积是12ab=3.∵小正方形的面积是1,∴大正方形面积=1+4×3=13,∴大正方形的边长为13.故选B.7.[解析]A　在Rt△ABC中,根据勾股定理,得a2+b2=100.由a+b=14,得(a+b)2=196,即a2+2ab+b2=196,所以ab=48,12ab=24,即Rt△ABC的面积为24cm2.8.[答案]C9.[答案]610.[答案]3cm[解析]如图所示,在△ACB中,AB=AC=5cm,BC=8cm,AD⊥BC.∵AB=AC,AD⊥BC,10 ∴∠ADB=90°,BD=CD=12BC=4cm.由勾股定理,得AD=AB2-BD2=52-42=3(cm).故答案为3cm.11.[答案]7[解析]∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴OC⊥AB.在Rt△OBC中,OC=BC2-OB2=42-32=7.∵以点O为圆心,OC长为半径画弧交数轴于点M,∴OM=OC=7,∴点M对应的实数为7.12.[答案]154[解析]如图,在Rt△ABC中,由AC=8cm,BC=6cm,根据勾股定理,得AB=10cm.设CE=xcm,由折叠的性质,得BD=AD=5cm,BE=AE=(8-x)cm,∠BDE=∠ADE=90°.在Rt△BCE中,根据勾股定理可知BC2+CE2=BE2,即62+x2=(8-x)2,解方程得x=74,∴BE=8-74=254(cm).在Rt△BDE中,由勾股定理,得BD2+DE2=BE2,即52+DE2=2542,∴DE=154(cm).故答案为154.13.[答案]169π8[解析]∵在Rt△ABO中,∠B=90°,BO=3cm,AB=4cm,∴AO=BO2+AB2=5cm.在Rt△AFO中,由勾股定理得FO=AO2+AF2=13cm,∴图中半圆的面积=12π×FO22=12π×1694=169π8(cm2).14.[答案]126cm2或66cm2[解析]分两种情况讨论:(1)当高AD在△ABC内部时,如图①.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD=AB2-AD2=132-122=5(cm).10 在Rt△ACD中,由勾股定理,得CD=AC2-AD2=202-122=16(cm),∴BC=CD+BD=21(cm),∴△ABC的面积为12×21×12=126(cm2).(2)当高AD在△ABC外部时,如图②,同(1),在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD=5cm,在Rt△ACD中,由勾股定理,得CD=16cm,∴BC=CD-BD=16-5=11(cm),∴△ABC的面积为12BC·AD=12×11×12=66(cm2).综上,△ABC的面积为126cm2或66cm2.15.解:(1)∵c是斜边,∴c=a2+b2=72+242=25.(2)∵b是直角边,∴b=c2-a2=72-42=33.16.解:∵∠ACB=90°,AB=50cm,BC=30cm,∴AC=502-302=40(cm).又∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CD,∴AB·CD=AC·BC,∴CD=AC·BCAB=40×3050=24(cm).即CD的长是24cm.17.证明:利用图①进行证明:∵∠DAB=90°,点C,A,E在同一条直线上,∴CE=a+b.∵S四边形BCED=S△ABC+S△ABD+S△AED=12ab+12c2+12ab,又∵S四边形BCED=12(a+b)2,∴12ab+12c2+12ab=12(a+b)2,10 ∴a2+b2=c2.利用图②进行证明:如图,连接DB,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,由∠DFC=∠ECF=∠DEC=90°可得四边形DFEC是长方形,∴DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.18解:(1)根据上述规律可得OAn2=12+(n-1)2=n,Sn=n2.故答案为n,n2.(2)OA10=10.(3)设它是第m个三角形.由题意,得m2=5,解得m=20.答:它是第20个三角形.10